Bac Maths 2025 Asie Jour 1

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

L'affirmation contient DEUX assertions. Il faut les traiter séparément — et c'est là que le sujet piège.

Première assertion : $A$, $B$, $C$ définissent-ils toujours un plan ? Oui. Trois points définissent un plan si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Or $\vec{AB}$ a sa deuxième coordonnée nulle, tandis que $\vec{AC}$ a sa deuxième coordonnée égale à $\mathbf{2}$, quelle que soit la valeur de $\alpha$. Ils ne peuvent donc jamais être colinéaires.

$$\text{Cette première partie est VRAIE, pour tout } \alpha$$

Seconde assertion : $\vec{\jmath}$ est-il normal à ce plan ? Pour cela, il devrait être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan — donc à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$.

$$\vec{\jmath} \cdot \vec{AB} = 0 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 0 = 0 \qquad \checkmark$$

Celui-ci est nul — et c'est précisément ce qui rend l'affirmation crédible.

$$\vec{\jmath} \cdot \vec{AC} = 0 \times (\alpha - 1) + 1 \times 2 + 0 \times \alpha = \boxed{2 \neq 0}$$

Le second produit scalaire n'est pas nul, et cela quelle que soit la valeur de $\alpha$. Le vecteur $\vec{\jmath}$ n'est donc jamais normal au plan $(ABC)$.

Une affirmation dont une partie est fausse est fausse.

La leçon : vérifier un seul produit scalaire ne prouve rien. Ici, s'arrêter après $\vec{\jmath}\cdot\vec{AB} = 0$ conduisait tout droit à la mauvaise réponse.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Ce qu'il faut chercher. $(AC)$ et $(d)$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k\,\vec{u}$ :

$$\begin{pmatrix}\alpha - 1\\2\\\alpha\end{pmatrix} = k\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l} \alpha - 1 = k \\ 2 = 2k \\ \alpha = -k \end{array}\right.$$

Résolution — commencer par l'équation la plus simple. La deuxième donne immédiatement :

$$2 = 2k \iff k = 1$$

On reporte dans les deux autres :

• première équation : $\alpha - 1 = 1$, donc $\alpha = 2$ ;
• troisième équation : $\alpha = -k = -1$.

$$\boxed{\alpha = 2 \quad \text{ET} \quad \alpha = -1 \ : \ \text{contradiction}}$$

Le système est incompatible. Il n'existe donc aucune valeur de $\alpha$ rendant les droites parallèles.

L'affirmation annonce « exactement une » valeur : elle est donc fausse.

Le piège est subtil : la réponse n'est pas « il y en a plusieurs », mais « il n'y en a aucune ». Un candidat pressé qui trouve $\alpha = 2$ par la première équation, sans vérifier la troisième, répond « vraie » — et se trompe.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Les vecteurs partant de $A(1\,;1\,;0)$, sommet de l'angle :

$$\vec{AO}\begin{pmatrix}0-1\\0-1\\0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix} \qquad \vec{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Produit scalaire :

$$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = (-1) \times 1 + (-1) \times 0 + 0 \times 0 = -1$$

Il est négatif : l'angle est obtus. C'est déjà cohérent avec $135°$.

Normes :

$$\left\|\vec{AO}\right\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2} \qquad \left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt{1} = 1$$

Cosinus :

$$\cos\widehat{OAB} = \frac{\vec{AO} \cdot \vec{AB}}{\left\|\vec{AO}\right\| \times \left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

C'est une valeur remarquable :

$$\boxed{\widehat{OAB} = 135°}$$

Le réflexe : reconnaître $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ évite de sortir la calculatrice. C'est le cosinus de $135°$, exactement l'opposé de celui de $45°$.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

La vérification la plus rapide, et de très loin : avant même de parler d'orthogonalité, le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ appartient à $(d)$. C'est le minimum exigible.

Le point $H$ est-il sur $(d)$ ? Il faudrait trouver un réel $t$ tel que :

$$\left\{\begin{array}{l} 1 + t = 1 \\ 2t = 2 \\ -t = 2 \end{array}\right.$$

• la première équation donne $t = 0$ ;
• la deuxième donne $t = 1$ ;
• la troisième donne $t = -2$.

$$\boxed{\text{Trois valeurs de } t \text{ incompatibles}}$$

Le système n'a aucune solution : le point $H(1\,;2\,;2)$ n'appartient même pas à la droite $(d)$. Il ne peut donc en aucun cas être le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.

Le réflexe qui fait gagner cinq minutes : dès qu'un énoncé propose un point comme projeté sur une droite, tester d'abord s'il est sur la droite. Se lancer dans le calcul de $\vec{AH} \cdot \vec{u}$ (qui vaut d'ailleurs $0 + 2 - 4 = -2 \neq 0$, donc échoue aussi) est plus long et moins décisif.

Pour information, le vrai projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ s'obtient en résolvant $\vec{AM} \cdot \vec{u} = 0$ où $M(1+t\,;2t\,;-t)$.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Mise en équation. Un point $M$ de la droite $(d)$ a pour coordonnées $M(1 + t\,;\ 2t\,;\ -t)$.

$M$ appartient à la sphère si et seulement si $OM = 1$. Pour éviter la racine carrée, on travaille avec le carré de la distance :

$$OM^2 = 1 \iff (1+t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2 = 1$$

Développement :

$$\underbrace{1 + 2t + t^2}_{(1+t)^2} + 4t^2 + t^2 = 1$$

$$6t^2 + 2t + 1 = 1$$

$$6t^2 + 2t = 0$$

Résolution — factoriser, surtout ne pas diviser par $t$ :

$$t\,(6t + 2) = 0 \iff t = 0 \quad \text{ou} \quad t = -\frac{1}{3}$$

Deux valeurs distinctes de $t$, donc deux points distincts :

$$\boxed{\begin{array}{l} t = 0 \ \longrightarrow \ M_1(1\,;0\,;0) \\[4pt] t = -\tfrac{1}{3} \ \longrightarrow \ M_2\left(\tfrac{2}{3}\,;-\tfrac{2}{3}\,;\tfrac{1}{3}\right) \end{array}}$$

Vérification des deux points :

$$OM_1 = \sqrt{1 + 0 + 0} = 1 \qquad \checkmark$$

$$OM_2 = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = 1 \qquad \checkmark$$

L'erreur classique : diviser l'équation $6t^2 + 2t = 0$ par $t$ pour obtenir $6t + 2 = 0$. On perd alors la solution $t = 0$ — et on conclut, à tort, qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection.

Lecture directe des deux premières données :

$$\boxed{P(F) = 0{,}95}$$

$$\boxed{P_F(S) = 0{,}98}$$

Attention à la nature de la seconde. « Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\ \%$ réussissent le test de sécurité » décrit une population restreinte aux jouets de $F$ : c'est bien une probabilité conditionnelle, et non $P(S)$ ni $P(F \cap S)$.

On en déduit aussi, par événement contraire :

$$P\left(\overline{F}\right) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05 \qquad P_F\left(\overline{S}\right) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02$$

a. Arbre pondéré. Le premier niveau porte $F$ et $\overline{F}$, le second $S$ et $\overline{S}$. Trois branches sur quatre se déduisent des données ; la quatrième est l'objet de la question b.

b. La donnée à traduire. « $1\ \%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests » signifie que le jouet échoue au test de fabrication et au test de sécurité :

$$P\left(\overline{F} \cap \overline{S}\right) = 0{,}01$$

C'est une probabilité d'intersection, pas une probabilité conditionnelle. Confondre les deux fait rater la question.

Application de la formule des probabilités composées. On a par définition :

$$P\left(\overline{F} \cap \overline{S}\right) = P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right)$$

On isole l'inconnue :

$$P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = \frac{P\left(\overline{F} \cap \overline{S}\right)}{P\left(\overline{F}\right)} = \frac{0{,}01}{0{,}05}$$

$$\boxed{P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = 0{,}2}$$

Interprétation : parmi les jouets qui échouent au test de fabrication, $20\ \%$ échouent aussi au test de sécurité — donc $80\ \%$ le réussissent malgré tout.

On complète ainsi l'arbre : $P_{\overline{F}}(S) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

« Réussir les deux tests » correspond à l'évènement $F \cap S$. On multiplie le long du chemin :

$$P(F \cap S) = P(F) \times P_F(S) = 0{,}95 \times 0{,}98$$

$$\boxed{P(F \cap S) = 0{,}931}$$

Interprétation : $93{,}1\ \%$ des jouets produits passent les deux contrôles.

Les évènements $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers : on applique la formule des probabilités totales.

$$P(S) = P(F \cap S) + P\left(\overline{F} \cap S\right)$$

Premier terme (question 3) : $P(F \cap S) = 0{,}931$.

Second terme. On utilise $P_{\overline{F}}(S) = 0{,}8$, obtenu à la question 2.b :

$$P\left(\overline{F} \cap S\right) = P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(S) = 0{,}05 \times 0{,}8 = 0{,}04$$

Somme :

$$P(S) = 0{,}931 + 0{,}04 = 0{,}971$$

$$\boxed{P(S) \approx 0{,}97}$$

Remarquable : $97{,}1\ \%$ des jouets réussissent le test de sécurité, alors que seuls $93{,}1\ \%$ réussissent les deux. L'écart de $4$ points correspond aux jouets qui échouent à la fabrication mais passent la sécurité.

Attention au sens du conditionnement. On cherche $P_S(F)$ — le test de sécurité est réussi, on remonte vers la fabrication — et non $P_F(S)$, qui est donné par l'énoncé. C'est une probabilité inverse.

$$P_S(F) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}931}{0{,}971}$$

$$P_S(F) = 0{,}95881\ldots$$

$$\boxed{P_S(F) \approx 0{,}96}$$

Interprétation : parmi les jouets ayant réussi le test de sécurité, environ $96\ \%$ ont aussi réussi le test de fabrication.

Cohérence : cette valeur ($0{,}96$) est légèrement supérieure à $P(F) = 0{,}95$. Logique : savoir qu'un jouet a passé la sécurité est une (faible) bonne nouvelle sur sa fabrication. Les deux évènements ne sont donc pas indépendants.

On applique les formules du cours pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ :

$$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)$$

Espérance :

$$\boxed{E(S_n) = 0{,}95\,n}$$

Variance :

$$V(S_n) = n \times 0{,}95 \times (1 - 0{,}95) = n \times 0{,}95 \times 0{,}05$$

$$\boxed{V(S_n) = 0{,}0475\,n}$$

Interprétation : sur un lot de $n$ jouets, on s'attend en moyenne à en voir $95\ \%$ réussir le test de fabrication.

a. Probabilité d'exactement 145 réussites. On applique la formule de la loi binomiale :

$$P(S_{150} = 145) = \binom{150}{145} \times 0{,}95^{\,145} \times 0{,}05^{\,5}$$

$$P(S_{150} = 145) = 0{,}10884\ldots$$

$$\boxed{P(S_{150} = 145) \approx 0{,}109}$$

Interprétation : sur un lot de $150$ jouets, il y a environ $10{,}9\ \%$ de chances d'observer exactement $145$ réussites.

Cohérent avec l'espérance : $E(S_{150}) = 0{,}95 \times 150 = 142{,}5$. La valeur $145$ est proche de la moyenne, il est donc normal que sa probabilité soit relativement élevée — la plus probable de toutes les valeurs individuelles.

b. Au moins $94\ \%$ de réussites. Il faut d'abord traduire le pourcentage en effectif :

$$94\ \% \text{ de } 150 = 0{,}94 \times 150 = 141$$

L'évènement cherché est donc $S_{150} \geqslant 141$ :

$$P(S_{150} \geqslant 141) = \sum_{k=141}^{150} \binom{150}{k} \times 0{,}95^{\,k} \times 0{,}05^{\,150-k}$$

À la calculatrice, on passe par l'évènement contraire (plus rapide) :

$$P(S_{150} \geqslant 141) = 1 - P(S_{150} \leqslant 140) = 0{,}78088\ldots$$

$$\boxed{P(S_{150} \geqslant 141) \approx 0{,}781}$$

Interprétation : dans environ $78\ \%$ des lots de $150$ jouets, au moins $94\ \%$ des jouets passent le test de fabrication.

Le piège de la question : oublier de convertir $94\ \%$ en $141$ jouets et chercher $P(S_{150} \geqslant 94)$ — ce qui donnerait une probabilité écrasante de $1$, absurde.

a. Espérance et variance de la fréquence.

Espérance — l'espérance est linéaire, donc $E(aX) = a\,E(X)$ :

$$E(F_n) = E\!\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n} \times E(S_n) = \frac{1}{n} \times 0{,}95\,n$$

$$\boxed{E(F_n) = 0{,}95}$$

Variance — attention, la variance n'est pas linéaire : $V(aX) = a^2\,V(X)$. Le facteur passe au carré :

$$V(F_n) = V\!\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \times V(S_n) = \frac{1}{n^2} \times 0{,}0475\,n$$

$$\boxed{V(F_n) = \frac{0{,}0475}{n}}$$

C'est le cœur de la loi des grands nombres : l'espérance de la fréquence ne dépend pas de $n$, tandis que sa variance décroît en $\frac{1}{n}$. Plus le lot est grand, plus la proportion observée se resserre autour de $0{,}95$.

b. Application de Bienaymé-Tchebychev.

Première étape — reconnaître l'intervalle. L'évènement $I$ s'écrit $0{,}93 < F_n < 0{,}97$. Cet intervalle est centré sur l'espérance $0{,}95$ :

$$0{,}95 - 0{,}93 = 0{,}02 \qquad \text{et} \qquad 0{,}97 - 0{,}95 = 0{,}02$$

Donc $I$ équivaut à $\left|F_n - 0{,}95\right| < 0{,}02$. On prend $\delta = 0{,}02$.

Deuxième étape — passer à l'évènement contraire. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de s'écarter :

$$P\Big(\left|F_n - 0{,}95\right| \geqslant 0{,}02\Big) \leqslant \frac{V(F_n)}{0{,}02^2} = \frac{\frac{0{,}0475}{n}}{0{,}0004} = \frac{118{,}75}{n}$$

D'où, en passant au contraire :

$$P(I) \geqslant 1 - \frac{118{,}75}{n}$$

Troisième étape — résoudre. Il suffit que cette minoration atteigne $0{,}96$ :

$$1 - \frac{118{,}75}{n} \geqslant 0{,}96 \iff \frac{118{,}75}{n} \leqslant 0{,}04$$

$$n \geqslant \frac{118{,}75}{0{,}04} = 2\,968{,}75$$

Comme $n$ est un entier :

$$\boxed{n = 2\,969 \text{ jouets}}$$

Ce qu'il faut retenir : il faut prélever près de trois mille jouets pour garantir, à $96\ \%$, une proportion comprise entre $93\ \%$ et $97\ \%$. Bienaymé-Tchebychev vaut pour n'importe quelle loi, ce qui la rend très générale — mais aussi très pessimiste. Un calcul direct avec la loi binomiale montrerait qu'un lot bien plus petit suffit largement. C'est le prix de sa généralité.

On applique la relation de récurrence avec $u_1 = 2$ :

$$u_2 = 2 + 0{,}8 \times 2 = 2 + 1{,}6$$

$$\boxed{u_2 = 3{,}6 \ \text{mL}}$$

Lecture : après la deuxième prise, il reste $80\ \%$ des $2$ mL de la première ($1{,}6$ mL), auxquels s'ajoutent les $2$ mL de la nouvelle dose.

Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{\,n-1}$ ».

Initialisation ($n = 1$).

$$10 - 8 \times 0{,}8^{\,0} = 10 - 8 \times 1 = 2 = u_1 \qquad \checkmark$$

$\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n \geqslant 1$ fixé, c'est-à-dire $u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{\,n-1}$.

Calculons $u_{n+1}$ à l'aide de la relation de récurrence, puis de l'hypothèse :

$$u_{n+1} = 2 + 0{,}8\,u_n = 2 + 0{,}8\left(10 - 8 \times 0{,}8^{\,n-1}\right)$$

On distribue le $0{,}8$ :

$$u_{n+1} = 2 + 8 - 0{,}8 \times 8 \times 0{,}8^{\,n-1}$$

Le point clé — regrouper les puissances de $0{,}8$ :

$$0{,}8 \times 0{,}8^{\,n-1} = 0{,}8^{\,1 + (n-1)} = 0{,}8^{\,n}$$

$$u_{n+1} = 10 - 8 \times 0{,}8^{\,n}$$

C'est exactement la formule au rang $n+1$, puisque $0{,}8^{\,(n+1)-1} = 0{,}8^{\,n}$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$. $\blacksquare$

Contrôle : $u_2 = 10 - 8 \times 0{,}8 = 10 - 6{,}4 = 3{,}6$ — conforme à la question 1 ✓

Limite. La suite géométrique de raison $q = 0{,}8$ vérifie $-1 < q < 1$, donc :

$$\lim_{n \to +\infty} 0{,}8^{\,n-1} = 0$$

Par conséquent :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 10 - 8 \times 0 = 10}$$

Interprétation. À long terme, la quantité de médicament dans l'organisme du patient se stabilise autour de $10$ mL.

Pourquoi une limite, et non une croissance sans fin ? Parce qu'un équilibre s'installe : à $10$ mL, l'organisme élimine $20\ \%$ de $10$ mL, soit exactement $2$ mL par heure — précisément la dose apportée par chaque nouvelle prise. Les entrées compensent alors exactement les sorties.

C'est un résultat rassurant sur le plan médical : la posologie ne conduit pas à une accumulation indéfinie.

Résolution. On utilise la forme explicite :

$$u_N \geqslant 10 \iff 10 - 8 \times 0{,}8^{\,N-1} \geqslant 10 \iff -8 \times 0{,}8^{\,N-1} \geqslant 0$$

Le membre de gauche est-il jamais positif ? Une puissance de $0{,}8$ est strictement positive :

$$0{,}8^{\,N-1} > 0 \quad \text{pour tout } N$$

Donc $-8 \times 0{,}8^{\,N-1}$ est strictement négatif, et ne peut jamais être $\geqslant 0$.

$$\boxed{\text{L'inéquation } u_N \geqslant 10 \text{ n'admet AUCUNE solution}}$$

Interprétation. La quantité de médicament présente dans l'organisme reste toujours strictement inférieure à $10$ mL, quel que soit le nombre de prises.

Le lien avec la question 3 : la suite tend vers $10$, mais par en dessous, sans jamais atteindre cette valeur. La limite est une borne asymptotique, pas une valeur atteinte.

Un raisonnement à éviter : dire « la limite vaut $10$, donc $u_n$ finit par valoir $10$ ». C'est faux — et c'est exactement ce que cette question cherche à faire comprendre.

Mise en inéquation.

$$u_n > 9 \iff 10 - 8 \times 0{,}8^{\,n-1} > 9 \iff -8 \times 0{,}8^{\,n-1} > -1$$

On multiplie par $-1$ : le sens de l'inégalité change.

$$8 \times 0{,}8^{\,n-1} < 1 \iff 0{,}8^{\,n-1} < \frac{1}{8} = 0{,}125$$

Résolution par le logarithme. On compose par $\ln$, strictement croissante (le sens est conservé) :

$$(n-1)\ln(0{,}8) < \ln(0{,}125)$$

Le point délicat : $\ln(0{,}8) < 0$ (car $0{,}8 < 1$). En divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse à nouveau :

$$n - 1 > \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}8)} = \frac{-2{,}0794}{-0{,}2231} \approx 9{,}32$$

$$n > 10{,}32$$

Comme $n$ est entier :

$$\boxed{n = 11 \ : \ \text{à partir de la 11}^{\text{e}} \text{ prise}}$$

Vérification, indispensable :

$$u_{10} = 10 - 8 \times 0{,}8^{9} \approx 10 - 1{,}074 \approx 8{,}926 < 9 \qquad \text{(insuffisant)}$$

$$u_{11} = 10 - 8 \times 0{,}8^{10} \approx 10 - 0{,}859 \approx 9{,}141 > 9 \qquad \checkmark$$

Interprétation : il faut 11 prises — soit environ 11 heures de traitement — pour que la quantité présente dans l'organisme dépasse $9$ mL.

Deux inversions de sens dans un même calcul : une en multipliant par $-1$, une en divisant par $\ln(0{,}8)$. C'est exactement le genre d'enchaînement où l'encadrement final par $u_{10}$ et $u_{11}$ n'est pas un luxe.

$S_2$ est la moyenne des deux premiers termes :

$$S_2 = \frac{u_1 + u_2}{2} = \frac{2 + 3{,}6}{2} = \frac{5{,}6}{2}$$

$$\boxed{S_2 = 2{,}8 \ \text{mL}}$$

Interprétation : sur les deux premières heures de traitement, la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme est de $2{,}8$ mL.

Décomposer la somme. On utilise la forme explicite $u_k = 10 - 8 \times 0{,}8^{\,k-1}$ et on sépare en deux sommes :

$$\sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=1}^{n} \left(10 - 8 \times 0{,}8^{\,k-1}\right) = \underbrace{\sum_{k=1}^{n} 10}_{\text{constante}} \ - \ 8\underbrace{\sum_{k=1}^{n} 0{,}8^{\,k-1}}_{\text{géométrique}}$$

Première somme. On additionne $n$ fois la constante $10$ :

$$\sum_{k=1}^{n} 10 = 10n$$

Seconde somme. C'est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $0{,}8^0 = 1$ et de raison $q = 0{,}8$. La formule du cours donne :

$$\sum_{k=1}^{n} 0{,}8^{\,k-1} = 1 \times \frac{1 - 0{,}8^{\,n}}{1 - 0{,}8} = \frac{1 - 0{,}8^{\,n}}{0{,}2} = 5\left(1 - 0{,}8^{\,n}\right)$$

Assemblage :

$$\sum_{k=1}^{n} u_k = 10n - 8 \times 5\left(1 - 0{,}8^{\,n}\right) = 10n - 40\left(1 - 0{,}8^{\,n}\right)$$

$$\boxed{u_1 + u_2 + \cdots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^{\,n}}$$ $\blacksquare$

Contrôle avec $n = 2$ :

$$10 \times 2 - 40 + 40 \times 0{,}64 = 20 - 40 + 25{,}6 = 5{,}6 = u_1 + u_2 \qquad \checkmark$$

On divise la somme obtenue à la question 2 par $n$ :

$$S_n = \frac{10n - 40 + 40 \times 0{,}8^{\,n}}{n} = 10 - \frac{40}{n} + \frac{40 \times 0{,}8^{\,n}}{n}$$

On traite chaque terme séparément :

• $\dfrac{40}{n} \longrightarrow 0$ ;
• $\dfrac{40 \times 0{,}8^{\,n}}{n} \longrightarrow 0$, car $0{,}8^{\,n} \to 0$ (raison entre $-1$ et $1$) et $n \to +\infty$ : le numérateur tend vers $0$ pendant que le dénominateur tend vers l'infini.

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} S_n = 10}$$

Interprétation. La quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme tend elle aussi vers $10$ mL.

C'est logique : la suite $(u_n)$ converge vers $10$, donc ses moyennes successives convergent vers la même valeur. Mais beaucoup plus lentement — la moyenne reste longtemps « tirée vers le bas » par les premiers termes, petits.

a. Ce que calcule l'algorithme. La ligne

s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n

est exactement l'expression de $S_n$ obtenue à la question 3. La variable s contient donc la quantité moyenne de médicament après $n$ prises. L'initialisation n = 1, s = 2 correspond bien à $S_1 = u_1 = 2$.

La boucle avance tant que $S_n < k$, et s'arrête dès que $S_n \geqslant k$.

$$\boxed{\texttt{mystere(9)} \text{ renvoie le plus petit nombre de prises } n \text{ à partir duquel la quantité MOYENNE de médicament atteint } 9 \text{ mL}}$$

Attention à ne pas confondre avec la question A.5 : celle-ci portait sur la quantité instantanée $u_n$ (réponse : $11$ prises). Ici il s'agit de la quantité moyenne $S_n$ — c'est un tout autre seuil.

b. Justification que le résultat dépasse $10$. Il suffit de montrer que $S_{10} < 9$ : la boucle n'aura donc pas encore terminé au rang $10$, et le $n$ renvoyé sera nécessairement $> 10$.

Argument sans calcul. La suite $(u_n)$ est croissante (elle croît de $2$ vers $10$). Donc, pour tout $k \leqslant 10$ :

$$u_k \leqslant u_{10}$$

Or on a calculé à la question A.5 que $u_{10} \approx 8{,}926 < 9$.

La moyenne $S_{10}$ est la moyenne de nombres tous inférieurs à $9$ : elle est donc elle-même strictement inférieure à $9$.

$$S_{10} < u_{10} < 9$$

Comme $S_{10} < 9$, la condition s < 9 de la boucle est encore vraie au rang $10$ : l'algorithme continue.

$$\boxed{\texttt{mystere(9)} > 10}$$ $\blacksquare$

Contrôle par le calcul :

$$S_{10} = 10 - \frac{40}{10} + \frac{40 \times 0{,}8^{10}}{10} \approx 10 - 4 + 0{,}43 \approx 6{,}43$$

On est en réalité très loin de $9$ : l'algorithme renvoie en fait $n = 40$.

Ce que cela dit médicalement : il faut environ 40 heures pour que la quantité moyenne atteigne $9$ mL, contre seulement 11 heures pour la quantité instantanée. La moyenne est durablement pénalisée par le démarrage lent du traitement.

a. Dérivée de $g$. C'est une composée $e^{u}$ avec $u = \sqrt{x}$. On rappelle que

$$\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Donc :

$$g'(x) = u'(x) \times e^{u(x)} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \times e^{\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$

$$\boxed{g'(x) = f(x)}$$ $\blacksquare$

Ce résultat n'est pas décoratif : il signifie que $g$ est une primitive de $f$. C'est exactement ce qui rendra le calcul de l'intégrale immédiat à la question 4.

b. Dérivée de $f$. On dérive le quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u = e^{\sqrt{x}}$ et $v = 2\sqrt{x}$ :

$$u'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \quad \text{(question a)} \qquad v'(x) = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \times 2\sqrt{x} \ - \ e^{\sqrt{x}} \times \dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\left(2\sqrt{x}\right)^2}$$

Le premier terme du numérateur se simplifie magnifiquement :

$$\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \times 2\sqrt{x} = e^{\sqrt{x}}$$

D'où :

$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{4x}$$

On factorise le numérateur par $e^{\sqrt{x}}$ :

$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}{4x} = \frac{e^{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}{4x}$$

$$\boxed{f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - 1\right)}{4x\sqrt{x}}}$$ $\blacksquare$

a. Limite en $0^+$. On examine numérateur et dénominateur séparément — il n'y a pas d'indétermination :

• numérateur : $\sqrt{x} \to 0$, donc $e^{\sqrt{x}} \to e^{0} = 1$ ;
• dénominateur : $2\sqrt{x} \to 0^+$ (strictement positif).

Un numérateur qui tend vers $1$ divisé par un dénominateur qui tend vers $0^+$ :

$$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty}$$

b. Interprétation graphique.

$$\boxed{\text{La droite d'équation } x = 0 \ \text{(l'axe des ordonnées) est ASYMPTOTE VERTICALE à } \mathcal{C}_f}$$

a. Limite en $+\infty$. C'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On la lève par un changement de variable : posons $t = \sqrt{x}$, qui tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$.

$$f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{t}}{2t} = \frac{1}{2} \times \frac{e^{t}}{t}$$

Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance :

$$\frac{e^{t}}{t} \xrightarrow[t \to +\infty]{} +\infty$$

$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$

b. Variations. D'après la question 1.b :

$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - 1\right)}{4x\sqrt{x}}$$

Sur $]0\,;+\infty[$ :

• $e^{\sqrt{x}} > 0$ toujours ;
• $4x\sqrt{x} > 0$ toujours.

Le signe de $f'$ est donc exactement celui de $\sqrt{x} - 1$ :

$$\sqrt{x} - 1 > 0 \iff \sqrt{x} > 1 \iff x > 1$$



$f$ décroît sur $]0\,;1]$ puis croît sur $[1\,;+\infty[$. Elle admet donc un minimum en $x = 1$ :

$$\boxed{f(1) = \frac{e^{\sqrt{1}}}{2\sqrt{1}} = \frac{e}{2} \approx 1{,}359}$$

c. Résolution de $f(x) = 2$ sur $[1\,;+\infty[$.

On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

• $f$ est continue sur $[1\,;+\infty[$ (elle y est dérivable) ;
• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ (question b) ;
• $f(1) = \dfrac{e}{2} \approx 1{,}359$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Or $2$ est compris entre $1{,}359$ et $+\infty$ :

$$\boxed{\text{L'équation } f(x) = 2 \text{ admet une unique solution } \beta \text{ sur } [1\,;+\infty[}$$

Valeur approchée. Par balayage à la calculatrice :

$$f(4{,}6) \approx 1{,}995 < 2 \qquad f(4{,}7) \approx 2{,}016 > 2$$

$$\boxed{\beta \approx 4{,}6}$$

(valeur exacte : $\beta \approx 4{,}637$)

Pourquoi restreindre à $[1\,;+\infty[$ ? Parce que sur $]0\,;1]$, $f$ est décroissante et tend vers $+\infty$ en $0$ : l'équation $f(x) = 2$ y admet une autre solution (autour de $x \approx 0{,}13$). C'est la stricte monotonie sur l'intervalle considéré qui garantit l'unicité — pas la monotonie globale, qui n'existe pas ici.