Bac Maths 2025 Nouvelle-Calédonie Jour 2

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Calcul des trois longueurs. Ce sont trois diagonales de faces du cube.

$$AH = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

$$AC = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$

$$HC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$$

Les trois côtés sont égaux :

$$AH = AC = HC = \sqrt{2}$$

$$\boxed{\text{Le triangle } HAC \text{ est ÉQUILATÉRAL, donc PAS rectangle}}$$

Vérification par le produit scalaire. Testons l'angle en $A$ :

$$\vec{AH} \cdot \vec{AC} = 0 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1 \neq 0$$

L'angle n'est pas droit. Et comme

$$\cos\widehat{HAC} = \frac{\vec{AH} \cdot \vec{AC}}{AH \times AC} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

on retrouve $\widehat{HAC} = 60°$ — l'angle d'un triangle équilatéral. Par symétrie, les trois angles valent $60°$ : aucun n'est droit.

L'affirmation est fausse.

Un grand classique de la géométrie du cube : les trois diagonales de faces issues de trois sommets « en quinconce » forment toujours un triangle équilatéral.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Représentations paramétriques.

Droite $(HF)$ — passe par $H(0\,;1\,;1)$, de vecteur directeur $\vec{HF}(1\,;-1\,;0)$ :

$$\left\{\begin{array}{l} x = s \\ y = 1 - s \\ z = 1 \end{array}\right.$$

Droite $(DI)$ — passe par $D(0\,;1\,;0)$, de vecteur directeur $\vec{DI} = I - D = \left(1\,;-1\,;\dfrac{2}{3}\right)$ :

$$\left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 1 - t \\ z = \dfrac{2}{3}t \end{array}\right.$$

Recherche d'un point commun. On égale les coordonnées :

$$\left\{\begin{array}{l} s = t \\ 1 - s = 1 - t \\ 1 = \dfrac{2}{3}t \end{array}\right.$$

La troisième équation donne directement :

$$1 = \frac{2}{3}t \iff t = \frac{3}{2}$$

et donc $s = t = \dfrac{3}{2}$. Les deux premières équations sont alors satisfaites.

Le système est compatible : les droites se coupent au point obtenu pour $s = \dfrac{3}{2}$ :

$$x = \frac{3}{2} \qquad y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \qquad z = 1$$

$$\boxed{(HF) \text{ et } (DI) \text{ se coupent en } \left(\tfrac{3}{2}\,;-\tfrac{1}{2}\,;1\right) \ : \ \text{elles sont SÉCANTES}}$$

L'affirmation est vraie.

Le piège : le point d'intersection $\left(\frac{3}{2}\,;-\frac{1}{2}\,;1\right)$ est situé À L'EXTÉRIEUR du cube. On pourrait croire, en regardant la figure, que les droites ne se rencontrent pas. Mais deux droites (prolongées à l'infini) sont sécantes dès qu'elles ont un point commun, où qu'il soit. Ne pas confondre droites et segments.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Simplifier $\vec{u}$ d'abord — c'est indispensable. On utilise les identités trigonométriques :

$$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha \qquad \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$$

$$\vec{u}\begin{pmatrix}\sin\alpha\\\sin\alpha\\-\sin\alpha\end{pmatrix}$$

Le critère. $\vec{u}$ est normal au plan $(FAC)$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\vec{AF}$ et $\vec{AC}$.

$$\vec{AF} = F - A = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{AC} = C - A = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$

Premier produit scalaire :

$$\vec{u} \cdot \vec{AF} = \sin\alpha \times 1 + \sin\alpha \times 0 + (-\sin\alpha) \times 1 = \sin\alpha - \sin\alpha = 0 \qquad \checkmark$$

Celui-ci est nul — et c'est précisément ce qui rend l'affirmation crédible.

Second produit scalaire :

$$\vec{u} \cdot \vec{AC} = \sin\alpha \times 1 + \sin\alpha \times 1 + (-\sin\alpha) \times 0 = 2\sin\alpha$$

Or $\alpha \in\, ]0\,;\pi[$, donc $\sin\alpha > 0$ :

$$\vec{u} \cdot \vec{AC} = 2\sin\alpha \neq 0$$

$$\boxed{\vec{u} \text{ est orthogonal à } \vec{AF} \text{ mais PAS à } \vec{AC} \ : \ \text{il n'est pas normal à } (FAC)}$$

L'affirmation est fausse.

Le piège, classique : vérifier UN SEUL produit scalaire. Ici, $\vec{u} \cdot \vec{AF} = 0$ donne l'illusion que $\vec{u}$ convient. Il faut impérativement tester le second vecteur du plan — et c'est là que ça échoue.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Le bon décompte. Un segment est déterminé par le choix de deux sommets distincts, et l'ordre ne compte pas (le segment $[AB]$ est le même que $[BA]$). C'est donc une combinaison de $2$ sommets parmi $8$ :

$$N = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2}$$

$$\boxed{N = 28 \text{ segments}}$$

Comparaison avec la valeur proposée :

$$\frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32 \neq 28$$

L'affirmation est fausse.

Pourquoi $\dfrac{8^2}{2}$ est faux. Le carré $8^2 = 8 \times 8$ compte tous les couples ordonnés $(P\,;Q)$ de sommets — y compris les couples $(P\,;P)$ où les deux sommets sont confondus (il y en a $8$). En divisant par $2$, on ne corrige pas ce défaut.

Le bon calcul écarte d'abord les $8$ « couples » dégénérés :

$$\frac{8 \times 7}{2} = \frac{8^2 - 8}{2} = \frac{64 - 8}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

C'est le $-8$ (retirer les couples $(P\,;P)$) qui manque dans la formule $\frac{8^2}{2}$. La formule correcte est toujours $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$, et non $\dfrac{n^2}{2}$.

Position relative des deux courbes sur $[0\,;1]$. Pour $0 \leqslant x \leqslant 1$, on a $x^2 \leqslant x$ (multiplier $0 \leqslant x \leqslant 1$ par $x \geqslant 0$). La parabole est donc sous la droite $y = x$ sur tout l'intervalle.

ZONE 2 — sous la parabole. C'est l'aire entre la courbe $y = x^2$ et l'axe des abscisses :

$$\mathcal{A}_2 = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$$

$$\boxed{\mathcal{A}_2 = \frac{1}{3}}$$

ZONE 3 — entre la parabole et la droite. C'est l'aire entre $y = x$ (au-dessus) et $y = x^2$ (en dessous) :

$$\mathcal{A}_3 = \int_0^1 \left(x - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

$$\boxed{\mathcal{A}_3 = \frac{1}{6}}$$

ZONE 1 — au-dessus de la droite $y = x$. L'aire totale du carré vaut $1$. La ZONE 1 est ce qui reste après avoir retiré les deux autres :

$$\mathcal{A}_1 = 1 - \mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_3 = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{6 - 2 - 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

$$\boxed{\mathcal{A}_1 = \frac{1}{2}}$$

Contrôle : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ ✓ — les trois zones recouvrent bien tout le carré.

La ZONE 1 (au-dessus de la diagonale) vaut $\frac{1}{2}$ par simple symétrie du carré : la diagonale le partage en deux triangles égaux.

Les probabilités de l'arbre.

$$P(T) = \frac{1}{6} \qquad P\left(\overline{T}\right) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

• si la fléchette est sur la ZONE 3, on lance une pièce équilibrée : $P_T(G) = \dfrac{1}{2}$ ;
• sinon, on lance un dé et on gagne sur la FACE 6 : $P_{\overline{T}}(G) = \dfrac{1}{6}$.

Formule des probabilités totales. Les évènements $T$ et $\overline{T}$ forment une partition :

$$P(G) = P(T) \times P_T(G) + P\left(\overline{T}\right) \times P_{\overline{T}}(G)$$

$$P(G) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{5}{36}$$

Au même dénominateur $36$ :

$$P(G) = \frac{3}{36} + \frac{5}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$

$$\boxed{P(G) = \frac{2}{9}}$$ $\blacksquare$

Interprétation : le joueur gagne dans environ $22\ \%$ des parties. C'est plus que la seule probabilité du dé ($\frac{1}{6} \approx 17\ \%$), car la ZONE 3 offre une meilleure chance (la pièce, à $50\ \%$).

On cherche $P_G(T)$ — le joueur a gagné, on remonte vers la zone. C'est une probabilité inverse.

$$P_G(T) = \frac{P(T \cap G)}{P(G)}$$

Numérateur — chemin $T$ puis $G$ :

$$P(T \cap G) = P(T) \times P_T(G) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$$

Dénominateur : $P(G) = \dfrac{2}{9}$ (question précédente).

$$P_G(T) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{12} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$

$$\boxed{P_G(T) = \frac{3}{8} = 0{,}375}$$

Interprétation. Parmi les parties gagnées, $37{,}5\ \%$ l'ont été après un tir en ZONE 3.

C'est bien plus que la part de la ZONE 3 dans les lancers ($\frac{1}{6} \approx 17\ \%$) : gagner rend beaucoup plus probable d'avoir touché la ZONE 3, car c'est de loin la zone la plus « payante » (une chance sur deux au lieu d'une sur six).

Loi de $X_1$. Le gain est le numéro de la zone, avec la probabilité égale à son aire :



a. Espérance.

$$E(X_1) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$$

Au même dénominateur $6$ :

$$E(X_1) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

$$\boxed{E(X_1) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \ \text{euros}}$$

b. Variance. On utilise $V(X_1) = E\left(X_1^2\right) - \left[E(X_1)\right]^2$.

Calcul de $E\left(X_1^2\right)$ :

$$E\left(X_1^2\right) = 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{3} + 3^2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{6}$$

Au même dénominateur $6$ :

$$E\left(X_1^2\right) = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$

Variance :

$$V(X_1) = \frac{10}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{10}{3} - \frac{25}{9} = \frac{30}{9} - \frac{25}{9} = \frac{5}{9}$$

$$\boxed{V(X_1) = \frac{5}{9}}$$ $\blacksquare$

a. Probabilité que $Y = 9$. Le gain maximal par joueur est $3$ (ZONE 3). La somme des trois gains vaut $9$ uniquement si les trois joueurs touchent la ZONE 3 :

$$Y = 9 \iff X_1 = 3 \ \text{ET} \ X_2 = 3 \ \text{ET} \ X_3 = 3$$

Les parties étant indépendantes, on multiplie les probabilités :

$$P(Y = 9) = P(X_1 = 3) \times P(X_2 = 3) \times P(X_3 = 3) = \left(\frac{1}{6}\right)^3$$

$$\boxed{P(Y = 9) = \frac{1}{216}}$$

C'est le seul moyen d'atteindre $9$ : il n'y a qu'un chemin, d'où le cube.

b. Espérance de $Y$. L'espérance est additive, sans hypothèse :

$$E(Y) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3 \times \frac{5}{3}$$

$$\boxed{E(Y) = 5 \ \text{euros}}$$

c. Variance de $Y$. Les trois variables sont indépendantes (l'énoncé le précise), ce qui autorise l'additivité de la variance :

$$V(Y) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9}$$

$$\boxed{V(Y) = \frac{5}{3}}$$ $\blacksquare$

Le point de méthode. L'espérance est toujours additive ; la variance ne l'est que sous hypothèse d'indépendance. La mention « les parties sont indépendantes » n'est pas un détail — c'est la justification de la question c.

Dérivation. C'est une composée $\ln(v)$ avec $v = e^{\frac{x}{2}} + 2$. La dérivée de $\ln(v)$ est $\dfrac{v'}{v}$, et $v' = \dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$ :

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + 2}$$

Signe. Pour tout réel $x$ :

• le numérateur $\dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$ est strictement positif (une exponentielle ne s'annule jamais) ;
• le dénominateur $e^{\frac{x}{2}} + 2$ est strictement positif (somme d'une exponentielle positive et de $2$).

$$f'(x) > 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$

$$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}}$$ $\blacksquare$

On calcule $f(2\ln 2)$. L'étape clé est de simplifier $e^{\frac{2\ln 2}{2}}$ :

$$e^{\frac{2\ln 2}{2}} = e^{\ln 2} = 2$$

(l'exponentielle et le logarithme s'annulent)

On reporte :

$$f(2\ln 2) = \ln\left(e^{\frac{2\ln 2}{2}} + 2\right) = \ln(2 + 2) = \ln 4$$

Or $\ln 4 = \ln\left(2^2\right) = 2\ln 2$ :

$$\boxed{f(2\ln 2) = 2\ln 2}$$ $\blacksquare$

Ce que cela signifie. Le nombre $2\ln 2$ est un point fixe de $f$ : $f$ le laisse invariant. C'est le candidat naturel pour la limite de la suite $(u_n)$ — ce que confirmeront les questions suivantes.

Valeur numérique : $2\ln 2 \approx 1{,}386$.

On applique la relation avec $u_0 = \ln 9$. L'étape clé est de simplifier $e^{\frac{\ln 9}{2}}$ :

$$e^{\frac{\ln 9}{2}} = e^{\ln 9 \times \frac{1}{2}} = e^{\ln\left(9^{\frac{1}{2}}\right)} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$

On reporte dans $f$ :

$$u_1 = f(u_0) = \ln\left(e^{\frac{\ln 9}{2}} + 2\right) = \ln(3 + 2)$$

$$\boxed{u_1 = \ln 5}$$ $\blacksquare$

Valeurs : $u_0 = \ln 9 \approx 2{,}197$ et $u_1 = \ln 5 \approx 1{,}609$. La suite décroît dès le premier terme — cohérent avec ce que la récurrence va établir.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $2\ln 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ ».

Initialisation ($n = 0$). On dispose des valeurs :

$$2\ln 2 \approx 1{,}386 \qquad u_1 = \ln 5 \approx 1{,}609 \qquad u_0 = \ln 9 \approx 2{,}197$$

On vérifie bien :

$$2\ln 2 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \qquad \checkmark$$

$\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie : $2\ln 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

La fonction $f$ étant strictement croissante (question 1), elle conserve l'ordre. On lui applique l'encadrement :

$$f(2\ln 2) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)$$

On traduit chaque terme :
• $f(2\ln 2) = 2\ln 2$ (question 2 — le point fixe !) ;
• $f(u_{n+1}) = u_{n+2}$ et $f(u_n) = u_{n+1}$ (définition de la suite).

$$2\ln 2 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$$

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $\blacksquare$

C'est le point fixe $2\ln 2$ (question 2) qui rend la borne inférieure stable par $f$ : $f(2\ln 2) = 2\ln 2$ garantit que la suite ne descend jamais en dessous. Sans lui, l'hérédité s'effondrerait.

L'encadrement démontré contient deux informations :

• $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n$ : la suite est décroissante ;
• $u_n \geqslant 2\ln 2$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $2\ln 2$.

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

$$\boxed{(u_n) \text{ converge vers une limite } \ell, \text{ avec } \ell \geqslant 2\ln 2}$$

Le théorème donne l'existence de la limite ; la question 6 va montrer que $\ell = 2\ln 2$ exactement.

a. Équation du second degré. Le discriminant vaut $\Delta = 1 + 8 = 9$, d'où

$$X = \frac{1 \pm 3}{2}$$

$$\boxed{X = 2 \quad \text{ou} \quad X = -1}$$

b. Résolution de $e^{x} - e^{\frac{x}{2}} - 2 = 0$. L'astuce : poser $X = e^{\frac{x}{2}}$. Alors, comme $e^{x} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 = X^2$, l'équation devient exactement celle de la question a :

$$X^2 - X - 2 = 0 \iff X = 2 \ \text{ou} \ X = -1$$

Retour à $x$ — et c'est ici qu'une solution est éliminée. On a $X = e^{\frac{x}{2}}$, qui est strictement positif :

• $X = -1$ est impossible (une exponentielle n'est jamais négative) ;
• $X = 2$ donne $e^{\frac{x}{2}} = 2$, d'où $\dfrac{x}{2} = \ln 2$, soit $x = 2\ln 2$.

$$\boxed{\mathcal{S} = \{2\ln 2\}}$$

c. Résolution de $f(x) = x$. Par définition de $f$ :

$$f(x) = x \iff \ln\left(e^{\frac{x}{2}} + 2\right) = x$$

On compose par $\exp$ (strictement croissante, donc l'équivalence est préservée) :

$$e^{\frac{x}{2}} + 2 = e^{x} \iff e^{x} - e^{\frac{x}{2}} - 2 = 0$$

C'est exactement l'équation de la question b ! Sa seule solution est $x = 2\ln 2$ :

$$\boxed{f(x) = x \iff x = 2\ln 2}$$

d. Limite de la suite. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. En passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ — c'est un point fixe de $f$.

D'après la question c, l'unique point fixe est $2\ln 2$ :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 2\ln 2}$$

Tout le problème s'emboîte : la question 2 avait deviné le point fixe, la question 4 en avait fait la borne de l'encadrement, et la question 6 prouve qu'il est unique — ce qui identifie la limite sans ambiguïté. La suite décroît de $\ln 9 \approx 2{,}197$ vers $2\ln 2 \approx 1{,}386$.

Limite en $0^+$. On a $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$, donc le produit $\dfrac{\ln x}{x^2} \to -\infty$ (pas d'indétermination). En ajoutant $1$ :

$$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty}$$

Limite en $+\infty$. Le terme $\dfrac{\ln x}{x^2}$ est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$, levée par croissance comparée (la puissance $x^2$ l'emporte sur $\ln x$) :

$$\frac{\ln x}{x^2} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0 \qquad \text{donc} \qquad f(x) \to 0 + 1 = 1$$

$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1}$$

Asymptotes.

$$\boxed{\begin{array}{l} \text{En } 0 : \text{ l'axe des ordonnées } (x = 0) \text{ est asymptote VERTICALE} \\[4pt] \text{En } +\infty : \text{ la droite } y = 1 \text{ est asymptote HORIZONTALE} \end{array}}$$

On dérive $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} + 1$. La constante $1$ disparaît ; il reste à dériver le quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u = \ln x$ et $v = x^2$ :

$$u' = \frac{1}{x} \qquad v' = 2x$$

$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\dfrac{1}{x} \times x^2 - \ln x \times 2x}{\left(x^2\right)^2} = \frac{x - 2x\ln x}{x^4}$$

On factorise le numérateur par $x$, puis on simplifie avec le dénominateur :

$$f'(x) = \frac{x\left(1 - 2\ln x\right)}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$$

$$\boxed{f'(x) = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}}$$ $\blacksquare$

Signe de $f'$. Sur $]0\,;+\infty[$, le dénominateur $x^3 > 0$. Le signe de $f'$ est donc celui du numérateur $(1 - 2\ln x)$ :

$$1 - 2\ln x > 0 \iff \ln x < \frac{1}{2} \iff x < e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$



Valeur du maximum. En $x = \sqrt{e}$, on a $\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}$ et $\left(\sqrt{e}\right)^2 = e$ :

$$f\left(\sqrt{e}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{e} + 1 = \frac{1}{2e} + 1 \approx 1{,}184$$

$$\boxed{f \text{ croît sur } ]0\,;\sqrt{e}] \text{ puis décroît sur } [\sqrt{e}\,;+\infty[, \text{ maximum } \frac{1}{2e} + 1}$$

a. Existence et unicité de $\alpha$. D'après le tableau de variations, le maximum de $f$ vaut $\dfrac{1}{2e} + 1 \approx 1{,}184 > 0$. La fonction est donc positive en $\sqrt{e}$, et ne peut s'annuler que sur la branche où elle vient de $-\infty$.

Sur $]0\,;\sqrt{e}]$ :
• $f$ est continue et strictement croissante ;
• $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et $f(\sqrt{e}) = \dfrac{1}{2e} + 1 > 0$.

Or $0$ est compris entre $-\infty$ et $\dfrac{1}{2e} + 1$. D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.

Sur $[\sqrt{e}\,;+\infty[ :$ $f$ décroît de $\dfrac{1}{2e} + 1 \approx 1{,}184$ vers sa limite $1$. Elle reste donc toujours supérieure à $1$, donc strictement positive : aucune solution.

$$\boxed{f(x) = 0 \text{ admet une UNIQUE solution } \alpha \text{ sur } ]0\,;+\infty[}$$ $\blacksquare$

b. Encadrement. Par balayage à la calculatrice :

$$f(0{,}65) \approx -0{,}020 < 0 \qquad f(0{,}66) \approx +0{,}046 > 0$$

$$\boxed{0{,}65 < \alpha < 0{,}66}$$

(encadrement d'amplitude $0{,}01$ ; valeur plus précise : $\alpha \approx 0{,}653$)

c. Signe de $f$. La fonction s'annule en $\alpha$, elle est croissante avant $\sqrt{e}$ puis décroissante. En combinant avec le tableau :

$$\boxed{\begin{array}{l} f(x) < 0 \ \text{ sur } \ ]0\,;\alpha[ \\[4pt] f(\alpha) = 0 \\[4pt] f(x) > 0 \ \text{ sur } \ ]\alpha\,;+\infty[ \end{array}}$$

En effet, $f$ ne s'annule qu'en $\alpha$ : négative avant (elle vient de $-\infty$), positive après (elle monte jusqu'au maximum, puis reste au-dessus de $1$).

a. Expression de $OM^2$. Le point $M$ de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $x$ a pour coordonnées $M(x\,;\ln x)$. La distance à $O(0\,;0)$ vérifie :

$$OM^2 = (x - 0)^2 + (\ln x - 0)^2$$

$$\boxed{OM^2 = x^2 + (\ln x)^2}$$

b. Minimum de $OM^2$. Posons $h(x) = x^2 + (\ln x)^2$. On dérive :

$$h'(x) = 2x + 2 \times \frac{1}{x} \times \ln x = 2x + \frac{2\ln x}{x}$$

On met au même dénominateur $x$ :

$$h'(x) = \frac{2x^2 + 2\ln x}{x} = \frac{2\left(x^2 + \ln x\right)}{x}$$

Signe de $h'$. Sur $]0\,;+\infty[$, le facteur $\dfrac{2}{x} > 0$. Le signe de $h'$ est donc celui de $\left(x^2 + \ln x\right)$.

Le lien avec $\alpha$ — c'est le cœur de l'exercice. Rappelons que $\alpha$ vérifie $f(\alpha) = 0$, soit :

$$\frac{\ln \alpha}{\alpha^2} + 1 = 0 \iff \ln \alpha = -\alpha^2 \iff \alpha^2 + \ln \alpha = 0$$

Ainsi $\alpha$ est exactement la racine de $x^2 + \ln x$ ! Et cette fonction $x \mapsto x^2 + \ln x$ est strictement croissante (somme de deux fonctions croissantes), donc :

• négative sur $]0\,;\alpha[$ → $h'< 0$ → $h$ décroît ;
• positive sur $]\alpha\,;+\infty[$ → $h' > 0$ → $h$ croît.

$$\boxed{OM^2 = h(x) \text{ admet un minimum en } x = \alpha}$$ $\blacksquare$

C'est ce lien inattendu qui donne tout son sens à l'étude de $f$ : la fonction $f$ de l'énoncé a été construite pour que sa racine $\alpha$ soit précisément le point où la distance $OM$ est minimale.

c. Distance $d$. La distance minimale est atteinte en $\alpha$ :

$$d = OM_{\min} = \sqrt{h(\alpha)} = \sqrt{\alpha^2 + (\ln \alpha)^2}$$

On simplifie grâce à la relation $\ln \alpha = -\alpha^2$ :

$$(\ln \alpha)^2 = \left(-\alpha^2\right)^2 = \alpha^4$$

$$d = \sqrt{\alpha^2 + \alpha^4} = \sqrt{\alpha^2\left(1 + \alpha^2\right)}$$

Comme $\alpha > 0$, on peut sortir $\alpha$ de la racine :

$$\boxed{d = \alpha\sqrt{1 + \alpha^2}}$$

Valeur numérique, avec $\alpha \approx 0{,}653$ :

$$d \approx 0{,}653 \times \sqrt{1 + 0{,}426} \approx 0{,}653 \times 1{,}194 \approx 0{,}780$$

L'élégance finale : la relation $\ln\alpha = -\alpha^2$, qui définit $\alpha$, permet d'exprimer la distance $d$ uniquement en fonction de $\alpha$, sans logarithme. Toutes les parties de l'exercice convergent vers ce résultat.