Bac Maths 2025 Centres étrangers Jour 2

a. Population en 2026. L'année $2026$ correspond au rang $n = 1$ :

$$u_1 = 0{,}93 \times u_0 = 0{,}93 \times 6 = 5{,}58$$

$$\boxed{5\,580 \text{ individus}}$$

Attention à l'unité : $u_n$ est exprimée en milliers. La réponse est $5\,580$ individus, pas $5{,}58$.

b. Forme explicite. Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ :

$$\boxed{u_n = 6 \times 0{,}93^{\,n}}$$

c. Limite. La raison $q = 0{,}93$ vérifie $-1 < q < 1$, donc :

$$\lim_{n \to +\infty} 0{,}93^{\,n} = 0$$

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

Interprétation. Selon ce modèle, la population du milieu A s'éteint à long terme. Elle décroît de $7\ \%$ chaque année, sans jamais se stabiliser : le milieu A n'est pas viable pour cette espèce.

a. Population en 2026. On applique la relation avec $v_0 = 6$ :

$$v_1 = -0{,}05 \times 6^2 + 1{,}1 \times 6 = -0{,}05 \times 36 + 6{,}6 = -1{,}8 + 6{,}6$$

$$v_1 = 4{,}8$$

$$\boxed{4\,800 \text{ individus}}$$

La population du milieu B chute plus vite que celle du milieu A la première année ($4\,800$ contre $5\,580$). La partie C montrera que la tendance finit par s'inverser.

b. Croissance de $f$ sur $[0\,;11]$. On dérive :

$$f'(x) = -0{,}05 \times 2x + 1{,}1 = -0{,}1x + 1{,}1$$

Signe :

$$f'(x) \geqslant 0 \iff -0{,}1x + 1{,}1 \geqslant 0 \iff 0{,}1x \leqslant 1{,}1 \iff x \leqslant 11$$

$$\boxed{f' \geqslant 0 \text{ sur } [0\,;11] \ \implies \ f \text{ est croissante sur } [0\,;11]}$$ $\blacksquare$

Interprétation : $f$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet en $x = 11$. Elle croît jusqu'à ce sommet, puis décroît. L'intervalle $[0\,;11]$ est exactement sa branche croissante — et c'est ce qui rendra la récurrence possible à la question suivante.

Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$ ».

Initialisation ($n = 0$). On a $v_0 = 6$ et $v_1 = 4{,}8$ (question 1.a) :

$$2 \leqslant 4{,}8 \leqslant 6 \leqslant 6 \qquad \checkmark$$

$\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé : $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$.

Tous ces termes appartiennent à $[0\,;11]$, intervalle sur lequel $f$ est croissante (question 1.b). Elle conserve donc l'ordre : on peut lui appliquer l'encadrement.

$$f(2) \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f(v_n) \leqslant f(6)$$

Or $f(v_n) = v_{n+1}$ et $f(v_{n+1}) = v_{n+2}$, par définition de la suite. Calculons les deux bornes :

$$f(2) = -0{,}05 \times 4 + 1{,}1 \times 2 = -0{,}2 + 2{,}2 = \mathbf{2}$$

$$f(6) = -0{,}05 \times 36 + 1{,}1 \times 6 = \mathbf{4{,}8}$$

L'encadrement devient :

$$2 \leqslant v_{n+2} \leqslant v_{n+1} \leqslant 4{,}8$$

Il reste à recoller à la borne demandée : comme $4{,}8 \leqslant 6$, on a a fortiori $v_{n+1} \leqslant 6$.

$$2 \leqslant v_{n+2} \leqslant v_{n+1} \leqslant 6$$

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $\blacksquare$

Le fait remarquable : $f(2) = 2$ exactement. Le nombre $2$ est un point fixe de $f$ — c'est ce qui fait que la borne inférieure est stable, et c'est déjà l'annonce de la limite trouvée en question 4.

a. Convergence. L'encadrement démontré contient deux informations :

• $v_{n+1} \leqslant v_n$ pour tout $n$ : la suite est décroissante ;
• $v_n \geqslant 2$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $2$.

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

$$\boxed{(v_n) \text{ converge vers une limite } \ell}$$

Attention : ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.

b. Détermination de $\ell$.

Pourquoi $f(\ell) = \ell$ ? La fonction $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (c'est un polynôme). En passant à la limite dans la relation $v_{n+1} = f(v_n)$ :

• le membre de gauche $v_{n+1} \to \ell$ ;
• le membre de droite $f(v_n) \to f(\ell)$, par continuité.

$$\boxed{\ell = f(\ell)}$$

Résolution.

$$\ell = -0{,}05\,\ell^2 + 1{,}1\,\ell \iff 0{,}05\,\ell^2 - 0{,}1\,\ell = 0$$

$$\ell\,\left(0{,}05\,\ell - 0{,}1\right) = 0 \iff \ell = 0 \quad \text{ou} \quad \ell = \frac{0{,}1}{0{,}05} = 2$$

Il faut trancher. L'encadrement de la question 2 donne $v_n \geqslant 2$ pour tout $n$, donc par passage à la limite $\ell \geqslant 2$. La valeur $\ell = 0$ est donc impossible.

$$\boxed{\ell = 2}$$

Interprétation. Contrairement au milieu A, la population du milieu B ne s'éteint pas : elle se stabilise à $2\,000$ individus.

C'est toute la différence entre les deux modèles. Le milieu A suit une décroissance géométrique, qui mène inexorablement à zéro. Le milieu B suit un modèle logistique : le terme $-0{,}05v_n^2$ freine la population quand elle est grande, mais s'estompe quand elle devient petite. Un équilibre s'installe — le milieu B a une capacité d'accueil de $2\,000$ individus.

a. Milieu A — résolution exacte. On cherche le plus petit $n$ tel que $u_n < 3$ (rappel : en milliers).

$$6 \times 0{,}93^{\,n} < 3 \iff 0{,}93^{\,n} < 0{,}5$$

On compose par $\ln$, strictement croissante (le sens est conservé) :

$$n\ln(0{,}93) < \ln(0{,}5)$$

Le point délicat : $\ln(0{,}93) < 0$ (car $0{,}93 < 1$). En divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse :

$$n > \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}93)} = \frac{-0{,}6931}{-0{,}0726} \approx 9{,}55$$

Comme $n$ est entier :

$$n = 10$$

Vérification, indispensable :
• $0{,}93^{9} \approx 0{,}5204 > 0{,}5$ : insuffisant ;
• $0{,}93^{10} \approx 0{,}4840 < 0{,}5$ ✓

$$\boxed{\text{À partir de } 2025 + 10 = \mathbf{2035}}$$

b. Milieu B — par balayage. La relation $v_{n+1} = -0{,}05v_n^2 + 1{,}1v_n$ ne se résout pas ; on itère à la calculatrice :



Le premier rang pour lequel $v_n < 3$ est $n = 6$ :

$$\boxed{\text{À partir de } 2025 + 6 = \mathbf{2031}}$$

Comparaison, et elle surprend. Le milieu B passe sous les $3\,000$ individus dès 2031, alors que le milieu A tient jusqu'en 2035.

À court terme, le milieu B semble donc le pire des deux. La question suivante montre que c'est exactement l'inverse à long terme — c'est le cœur de l'exercice.

Le raisonnement tient en deux limites.

D'après la partie A :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$$

D'après la partie B :

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = 2$$

Conclusion. La suite $(u_n)$ tend vers $0$, tandis que $(v_n)$ tend vers $2 > 0$ et reste toujours supérieure ou égale à $2$ (encadrement de la question B.2).

Comme $u_n \to 0$, il existe un rang à partir duquel $u_n < 2$. Or $v_n \geqslant 2$ pour tout $n$.

$$\boxed{\text{À partir de ce rang : } v_n \geqslant 2 > u_n}$$

La population du milieu B dépasse donc celle du milieu A à partir d'une certaine année. $\blacksquare$

L'enseignement de l'exercice, et il est contre-intuitif.

À court terme, le milieu B paraît nettement moins bon : sa population chute plus vite, et elle passe sous les $3\,000$ individus quatre ans avant celle du milieu A (2031 contre 2035).

Mais les deux modèles ne racontent pas la même histoire :

• le milieu A décline indéfiniment — il finira par se vider complètement ;
• le milieu B décline jusqu'à un équilibre — il conserve durablement $2\,000$ individus.

Juger un modèle sur ses premières années est donc trompeur : c'est le comportement asymptotique qui décide.

a. Complétion du programme. On avance d'une année à chaque tour de boucle, tant que le milieu B n'a pas dépassé le milieu A — c'est-à-dire tant que $v \leqslant u$.

À chaque tour, on met à jour les deux populations avec leurs relations de récurrence respectives.

n = 0
u = 6
v = 6
while v <= u :
u = 0.93 * u
v = -0.05 * v**2 + 1.1 * v
n = n + 1
print(2025 + n)

Attention à la condition d'arrêt. On sort de la boucle quand $v > u$ strictement. La condition de continuation est donc v <= u, et non v < u : au départ $u = v = 6$, et il ne faut surtout pas s'arrêter immédiatement.

b. Année affichée. On itère :



Le croisement se produit au rang $n = 13$ :

$$\boxed{\text{Le programme affiche } 2025 + 13 = \mathbf{2038}}$$

Lecture. Il faut treize ans pour que le milieu B rattrape et dépasse le milieu A. À partir de 2038, malgré son mauvais départ, le milieu B héberge davantage d'individus — et l'écart ne fera que se creuser, puisque le milieu A tend vers zéro tandis que le milieu B se maintient à $2\,000$.

a. Interprétation graphique.

$$\boxed{\text{La droite d'équation } y = 1 \text{ est ASYMPTOTE HORIZONTALE à } \mathcal{C}_f \text{ en } +\infty}$$

La courbe se rapproche indéfiniment de la droite $y = 1$ sans jamais l'atteindre.

b. Détermination de $a$. Calculons la limite à partir de l'expression de $f$.

Quand $x \to +\infty$, on a $-bx \to -\infty$ (car $b > 0$), donc :

$$e^{-bx} \longrightarrow 0$$

Le dénominateur tend alors vers $a + 0 = a$ :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{a}$$

Identification avec la limite donnée :

$$\frac{1}{a} = 1$$

$$\boxed{a = 1}$$

Contrôle avec le point $A(0\,;0{,}5)$ :

$$f(0) = \frac{1}{1 + e^{0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \qquad \checkmark$$

Cohérent : la courbe passe bien par $A$.

a. Coefficient directeur de $(AB)$. Avec $A(0\,;0{,}5)$ et $B(10\,;1)$ :

$$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 0{,}5}{10 - 0} = \frac{0{,}5}{10}$$

$$\boxed{m = 0{,}05}$$

b. Dérivée de $f$. Avec $a = 1$, on a $f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-bx}}$, de la forme $\dfrac{1}{u}$ dont la dérivée est $-\dfrac{u'}{u^2}$.

Ici $u = 1 + e^{-bx}$, donc $u' = -b\,e^{-bx}$ (dérivée de $e^{kx}$ : $k\,e^{kx}$).

$$f'(x) = -\frac{-b\,e^{-bx}}{\left(1 + e^{-bx}\right)^2}$$

Les deux signes moins s'annulent :

$$\boxed{f'(x) = \frac{b\,e^{-bx}}{\left(1 + e^{-bx}\right)^2}}$$

Au passage : cette expression est strictement positive (numérateur et dénominateur le sont), donc $f$ est strictement croissante — cohérent avec la courbe.

c. Détermination de $b$. L'énoncé précise que $(AB)$ est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$, d'abscisse $0$. Or le coefficient directeur d'une tangente est le nombre dérivé :

$$f'(0) = m = 0{,}05$$

Calcul de $f'(0)$, avec $e^{0} = 1$ :

$$f'(0) = \frac{b \times 1}{(1 + 1)^2} = \frac{b}{4}$$

Équation à résoudre :

$$\frac{b}{4} = 0{,}05 \iff b = 0{,}2$$

$$\boxed{b = 0{,}2}$$

Expression finale :

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0{,}2x}}$$

C'est la fonction sigmoïde (ou logistique) — la même que celle qui sert de fonction d'activation dans les réseaux de neurones.

a. Variations. D'après la question A.2.b, avec $b = 0{,}2$ :

$$f'(x) = \frac{0{,}2\,e^{-0{,}2x}}{\left(1 + e^{-0{,}2x}\right)^2}$$

• le numérateur $0{,}2\,e^{-0{,}2x}$ est strictement positif (une exponentielle ne s'annule jamais) ;
• le dénominateur est un carré, strictement positif.

$$f'(x) > 0 \quad \text{pour tout } x \geqslant 0$$

$$\boxed{f \text{ est STRICTEMENT CROISSANTE sur } [0\,;+\infty[}$$

Elle croît de $f(0) = 0{,}5$ vers sa limite $1$, sans jamais l'atteindre.

b. Unicité de $\alpha$. On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

• $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (elle y est dérivable) ;
• $f$ est strictement croissante (question a) ;
• $f(0) = 0{,}5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

Or $0{,}97$ est compris strictement entre $0{,}5$ et $1$ :

$$0{,}5 < 0{,}97 < 1$$

$$\boxed{\text{L'équation } f(x) = 0{,}97 \text{ admet une unique solution } \alpha \text{ sur } [0\,;+\infty[}$$ $\blacksquare$

Remarquer que $0{,}97 < 1$ est essentiel : la fonction n'atteint jamais la valeur $1$. Si l'on avait cherché $f(x) = 1$, il n'y aurait aucune solution.

c. Encadrement de $\alpha$. Par balayage à la calculatrice :

$$f(17) \approx 0{,}9677 < 0{,}97 \qquad f(18) \approx 0{,}9734 > 0{,}97$$

$$\boxed{17 < \alpha < 18}$$

(valeur exacte : $\alpha = 5\ln\left(\frac{97}{3}\right) \approx 17{,}38$)

Interprétation. La fonction $f$ modélise une grandeur qui croît de $0{,}5$ vers $1$ (une proportion, un taux de saturation…). Le seuil de $97\ \%$ est franchi entre les valeurs $17$ et $18$ de la variable.

Autrement dit : il faut attendre entre 17 et 18 unités pour que le phénomène atteigne $97\ \%$ de son niveau final. La convergence vers $1$ est lente — caractéristique des courbes logistiques, dont la « queue » s'aplatit progressivement.

a. Transformation de l'expression. L'astuce consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par $e^{0{,}2x}$ — quantité non nulle, donc la valeur du quotient ne change pas.

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0{,}2x}} = \frac{1 \times e^{0{,}2x}}{\left(1 + e^{-0{,}2x}\right) \times e^{0{,}2x}}$$

Développement du dénominateur, en utilisant $e^{-0{,}2x} \times e^{0{,}2x} = e^{0} = 1$ :

$$\left(1 + e^{-0{,}2x}\right) \times e^{0{,}2x} = e^{0{,}2x} + \underbrace{e^{-0{,}2x} \times e^{0{,}2x}}_{=\ 1} = e^{0{,}2x} + 1$$

$$\boxed{f(x) = \frac{e^{0{,}2x}}{1 + e^{0{,}2x}}}$$ $\blacksquare$

Pourquoi cette transformation ? Sous cette forme, on reconnaît une structure $\dfrac{u'}{u}$ — et c'est exactement ce qu'il faut pour primitiver.

b. Recherche d'une primitive. Posons

$$u(x) = 1 + e^{0{,}2x} \qquad \text{alors} \qquad u'(x) = 0{,}2\,e^{0{,}2x}$$

Le numérateur $e^{0{,}2x}$ vaut donc $\dfrac{u'(x)}{0{,}2} = 5\,u'(x)$. D'où :

$$f(x) = \frac{5\,u'(x)}{u(x)} = 5 \times \frac{u'(x)}{u(x)}$$

Or une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$ — et ici $u = 1 + e^{0{,}2x} > 0$, donc la valeur absolue est inutile :

$$\boxed{F(x) = 5\ln\left(1 + e^{0{,}2x}\right)}$$

Vérification, indispensable :

$$F'(x) = 5 \times \frac{0{,}2\,e^{0{,}2x}}{1 + e^{0{,}2x}} = \frac{e^{0{,}2x}}{1 + e^{0{,}2x}} = f(x) \qquad \checkmark$$

Toute la question a était une préparation : sous la forme initiale $\frac{1}{1+e^{-0{,}2x}}$, aucune structure $\frac{u'}{u}$ n'était visible.

Calcul de l'intégrale. On utilise la primitive $F(x) = 5\ln\left(1 + e^{0{,}2x}\right)$ trouvée à la question précédente :

$$\int_0^{40} f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[5\ln\left(1 + e^{0{,}2x}\right)\Big]_0^{40} = F(40) - F(0)$$

En $x = 40$ — noter que $0{,}2 \times 40 = 8$ :

$$F(40) = 5\ln\left(1 + e^{8}\right)$$

En $x = 0$ — avec $e^{0} = 1$ :

$$F(0) = 5\ln\left(1 + 1\right) = 5\ln 2$$

Différence :

$$\int_0^{40} f(x)\,\mathrm{d}x = 5\ln\left(1 + e^{8}\right) - 5\ln 2 = 5\ln\left(\frac{1 + e^{8}}{2}\right)$$

(on a regroupé grâce à $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$)

Valeur moyenne — on divise par la longueur de l'intervalle :

$$I = \frac{1}{40} \times 5\ln\left(\frac{1 + e^{8}}{2}\right)$$

$$\boxed{I = \frac{1}{8}\ln\left(\frac{1 + e^{8}}{2}\right)}$$

Valeur approchée. Avec $e^{8} \approx 2\,980{,}96$ :

$$\frac{1 + 2\,980{,}96}{2} \approx 1\,490{,}98 \qquad \ln(1\,490{,}98) \approx 7{,}307$$

$$I \approx \frac{7{,}307}{8} \approx 0{,}9134$$

$$\boxed{I \approx 0{,}913}$$

Contrôle de vraisemblance. Sur $[0\,;40]$, la fonction $f$ croît de $0{,}5$ à $f(40) \approx 0{,}9997$. Sa valeur moyenne doit donc être comprise entre $0{,}5$ et $1$ — et plutôt proche de $1$, puisque la courbe grimpe vite puis reste longtemps au voisinage de sa limite. Trouver $0{,}913$ est parfaitement cohérent ✓

a. Toutes les séquences. Il s'agit de choisir $4$ caractères ordonnés, avec répétition possible (rien n'interdit « aaaa »).

Pour chacune des $4$ positions, on dispose des $64$ caractères, indépendamment des autres :

$$64 \times 64 \times 64 \times 64 = 64^{4}$$

$$\boxed{64^{4} = 16\,777\,216 \text{ séquences}}$$

C'est le principe multiplicatif : c'est une $4$-liste (ou « $p$-uplet ») de l'ensemble des $64$ caractères.

b. Séquences à caractères deux à deux différents. Cette fois, chaque caractère utilisé est retiré du choix suivant :

• $64$ possibilités pour le premier caractère ;
• $63$ pour le deuxième (celui du premier est exclu) ;
• $62$ pour le troisième ;
• $61$ pour le quatrième.

$$64 \times 63 \times 62 \times 61$$

$$\boxed{15\,249\,024 \text{ séquences}}$$

C'est un arrangement de $4$ éléments parmi $64$ : ordre pris en compte, sans répétition.

Comparaison. Sur les $16{,}8$ millions de séquences possibles, plus de $15{,}2$ millions ont leurs quatre caractères distincts — soit plus de $90\ \%$. Avec $64$ caractères disponibles pour seulement $4$ positions, les répétitions restent rares.

a. Aucune lettre « A ». Chacune des $4$ positions doit être occupée par l'un des $64 - 1 = 63$ autres caractères :

$$63 \times 63 \times 63 \times 63 = 63^{4}$$

$$\boxed{63^{4} = 15\,752\,961 \text{ séquences}}$$

b. Au moins une lettre « A ». Réflexe : « au moins un » est le contraire de « aucun ».

$$\text{(au moins un A)} = \text{(total)} - \text{(aucun A)}$$

$$64^{4} - 63^{4} = 16\,777\,216 - 15\,752\,961$$

$$\boxed{1\,024\,255 \text{ séquences}}$$

Calculer directement « au moins un A » imposerait d'additionner les cas « exactement 1 », « exactement 2 », « exactement 3 » et « exactement 4 » — quatre calculs au lieu d'une soustraction.

c. Exactement une lettre « A ». On procède en deux temps :

1. choisir la position du « A » parmi les $4$ : il y a $\dbinom{4}{1} = 4$ façons ;
2. remplir les $3$ autres positions avec des caractères différents de « A » : $63^{3}$ façons.

$$\binom{4}{1} \times 63^{3} = 4 \times 250\,047$$

$$\boxed{1\,000\,188 \text{ séquences}}$$

Le point à ne pas rater : les trois autres caractères doivent être choisis parmi $63$, pas parmi $64$ — sinon on autoriserait un second « A », et la séquence n'en comporterait plus « exactement un ».

d. Exactement deux lettres « A ». Même méthode :

1. choisir les $2$ positions des « A » parmi les $4$ : $\dbinom{4}{2} = 6$ façons ;
2. remplir les $2$ autres positions avec des caractères différents de « A » : $63^{2}$ façons.

$$\binom{4}{2} \times 63^{2} = 6 \times 3\,969$$

$$\boxed{23\,814 \text{ séquences}}$$

Ordre de grandeur. Passer de « exactement un A » ($\approx 1$ million) à « exactement deux A » ($\approx 24\,000$) divise le nombre par $42$. C'est logique : chaque « A » supplémentaire impose une position et retire un facteur $63$ de liberté.

a. Paramètres. On répète $n = 250$ fois, de façon indépendante (l'énoncé le précise), une épreuve à deux issues — caractère mal transmis (succès) ou bien transmis — de probabilité constante $p = 0{,}01$.

$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(250\,;\ 0{,}01)}$$

b. Tous les caractères bien transmis. Cela signifie aucun caractère mal transmis, soit $X = 0$ :

$$P(X = 0) = \binom{250}{0} \times 0{,}01^{\,0} \times 0{,}99^{\,250}$$

$$\boxed{P(X = 0) = 0{,}99^{\,250}}$$

Interprétation directe : les $250$ caractères doivent tous passer, chacun avec probabilité $0{,}99$.

Valeur approchée :

$$0{,}99^{\,250} = 0{,}08106\ldots$$

$$\boxed{P(X = 0) \approx 0{,}081}$$

Ce résultat est frappant. Chaque caractère a $99\ \%$ de chances de passer — un taux d'erreur qui semble minuscule. Et pourtant, sur une séquence de $250$ caractères, il n'y a que $8\ \%$ de chances que la transmission soit parfaite. Dans plus de $9$ cas sur $10$, au moins un caractère est corrompu.

C'est pourquoi les protocoles de transmission réels intègrent des codes correcteurs d'erreurs : compter sur une transmission parfaite serait déraisonnable.

$$\boxed{\textbf{L'affirmation est VRAIE}}$$

Un premier repère : l'espérance.

$$E(X) = np = 250 \times 0{,}01 = 2{,}5$$

En moyenne, on attend $2{,}5$ caractères mal transmis. La valeur $16$ est donc plus de six fois la moyenne — on s'attend intuitivement à ce que ce soit très rare. Mais il faut le quantifier.

Calcul. « Plus de $16$ » signifie $X > 16$, c'est-à-dire $X \geqslant 17$. On passe par l'évènement contraire :

$$P(X > 16) = 1 - P(X \leqslant 16)$$

À la calculatrice (binomFRép / binomcdf) :

$$P(X \leqslant 16) \approx 0{,}999999999$$

$$\boxed{P(X > 16) \approx 1{,}0 \times 10^{-9}}$$

Conclusion. La probabilité vaut environ une chance sur un milliard.

$$\boxed{\text{Oui, cette probabilité est parfaitement négligeable}}$$

Mise en perspective. Si l'on transmettait une séquence de $250$ caractères par seconde, il faudrait attendre en moyenne plus de 30 ans pour observer une seule fois plus de $16$ caractères corrompus.

À noter : « négligeable » n'est pas un terme mathématique précis — il faut donc argumenter en donnant l'ordre de grandeur, et non se contenter d'affirmer.

Et le contraste avec la question précédente est instructif : la transmission parfaite est improbable ($8\ \%$), mais une transmission catastrophique est quasi impossible. Les erreurs sont fréquentes, mais elles restent peu nombreuses.

Espérance et variance de chaque $X_i$. Chacune suit $\mathcal{B}(250\,;0{,}01)$, donc :

$$E(X_i) = np = 250 \times 0{,}01 = 2{,}5$$

$$V(X_i) = np(1-p) = 250 \times 0{,}01 \times 0{,}99 = 2{,}475$$

---

Espérance de $S$. L'espérance est additive, et cela sans aucune hypothèse — l'indépendance n'est pas nécessaire ici :

$$E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) = 4 \times 2{,}5$$

$$\boxed{E(S) = 10}$$

---

Variance de $S$. Ici, en revanche, l'indépendance est indispensable. C'est elle — et elle seule — qui autorise :

$$V(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) + V(X_4)$$

L'énoncé précise bien que les variables sont indépendantes entre elles : la condition est remplie.

$$V(S) = 4 \times 2{,}475$$

$$\boxed{V(S) = 9{,}9}$$

---

Le point de méthode, essentiel. C'est la distinction du chapitre :



Une justification qui ne mentionne pas l'indépendance pour la variance est incomplète — et le sujet demande explicitement de « justifier ».

Contrôle par une autre voie. $S$ compte les caractères mal transmis sur $4 \times 250 = 1\,000$ caractères, tous indépendants et de même probabilité $0{,}01$. Donc $S \sim \mathcal{B}(1\,000\,;0{,}01)$, d'où :

$$E(S) = 1\,000 \times 0{,}01 = 10 \qquad \checkmark$$
$$V(S) = 1\,000 \times 0{,}01 \times 0{,}99 = 9{,}9 \qquad \checkmark$$

Les deux méthodes concordent.

a. Les points ne sont pas alignés. Ils le sont si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

$$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-2-1\\1-0\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\\-1\end{pmatrix} \qquad \vec{AC} = C - A = \begin{pmatrix}0-1\\3-0\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}$$

Test de colinéarité — on compare les rapports :

$$\frac{-3}{-1} = 3 \qquad \text{mais} \qquad \frac{1}{3} \neq 3$$

Les rapports diffèrent : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

$$\boxed{A, B, C \text{ ne sont pas alignés — ils définissent donc un plan}}$$ $\blacksquare$

b. $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$. Il faut vérifier que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan — c'est-à-dire à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$. Un seul ne suffirait pas.

$$\vec{n} \cdot \vec{AB} = (-1) \times (-3) + 1 \times 1 + 4 \times (-1) = 3 + 1 - 4 = 0 \qquad \checkmark$$

$$\vec{n} \cdot \vec{AC} = (-1) \times (-1) + 1 \times 3 + 4 \times (-1) = 1 + 3 - 4 = 0 \qquad \checkmark$$

Les deux produits scalaires sont nuls, et $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires (question a) :

$$\boxed{\vec{n} \text{ est orthogonal au plan } (ABC)}$$ $\blacksquare$

c. Équation cartésienne. Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Avec $\vec{n}(-1\,;1\,;4)$ :

$$-x + y + 4z + d = 0$$

Détermination de $d$ — le plan passe par $A(1\,;0\,;3)$, dont les coordonnées vérifient l'équation :

$$-1 + 0 + 4 \times 3 + d = 0 \iff -1 + 12 + d = 0 \iff d = -11$$

$$\boxed{(ABC) : \ -x + y + 4z - 11 = 0}$$ $\blacksquare$

Vérification avec $B(-2\,;1\,;2)$ :

$$-(-2) + 1 + 4 \times 2 - 11 = 2 + 1 + 8 - 11 = 0 \qquad \checkmark$$

Et avec $C(0\,;3\,;2)$ :

$$0 + 3 + 8 - 11 = 0 \qquad \checkmark$$