Bac Maths 2025 Amérique du Sud Jour 2

L'évènement $\overline{S}$.

Réponse : $\boxed{\overline{S}}$ est l'évènement « Abel RATE son premier service ».

(auquel cas il joue son deuxième service)

Traduction en probabilités.

$$P(S) = 0{,}7 \quad \text{donc} \quad P\left(\overline{S}\right) = 0{,}3$$

$$P_S(G) = 0{,}8 \qquad P_{\overline{S}}(G) = 0{,}45$$

L'arbre a deux niveaux : le premier oppose $S$ et $\overline{S}$, le second $G$ et $\overline{G}$ sur chaque branche. On complète par événement contraire :

$$P_S\left(\overline{G}\right) = 0{,}2 \qquad P_{\overline{S}}\left(\overline{G}\right) = 0{,}55$$

Attention à ne pas confondre : $P_{\overline{S}}(G) = 0{,}45$ est la probabilité de gagner le point après avoir raté le premier service — ce n'est pas la probabilité de rater le service.

On multiplie le long du chemin menant à $S$ puis à $G$ :

$$P(S \cap G) = P(S) \times P_S(G) = 0{,}7 \times 0{,}8$$

$$\boxed{P(S \cap G) = 0{,}56}$$

Interprétation : dans $56\ \%$ des cas, Abel réussit son premier service et gagne le point. C'est le scénario le plus favorable — et le plus fréquent.

Les évènements $S$ et $\overline{S}$ forment une partition de l'univers : on applique la formule des probabilités totales.

$$P(G) = P(S \cap G) + P\left(\overline{S} \cap G\right)$$

Premier terme (question 2) : $P(S \cap G) = 0{,}56$.

Second terme :

$$P\left(\overline{S} \cap G\right) = P\left(\overline{S}\right) \times P_{\overline{S}}(G) = 0{,}3 \times 0{,}45 = 0{,}135$$

Somme :

$$P(G) = 0{,}56 + 0{,}135$$

$$\boxed{P(G) = 0{,}695}$$ $\blacksquare$

Interprétation : Abel gagne le point dans $69{,}5\ \%$ des cas, tous services confondus.

Attention au sens du conditionnement. On cherche $P_G(S)$ — le point est gagné, on remonte vers le service — et non $P_S(G)$. C'est une probabilité inverse.

$$P_G(S) = \frac{P(S \cap G)}{P(G)} = \frac{0{,}56}{0{,}695}$$

$$P_G(S) = 0{,}80575\ldots$$

$$\boxed{P_G(S) \approx 0{,}806}$$

Interprétation. Parmi les points gagnés par Abel, environ $80{,}6\ \%$ l'ont été sur un premier service réussi.

Cette valeur ($0{,}806$) est légèrement supérieure à $P(S) = 0{,}7$ : savoir qu'Abel a gagné le point rend un peu plus probable qu'il ait réussi son premier service — c'est logique, puisqu'il gagne plus souvent quand son premier service passe.

Le critère. Deux évènements sont indépendants si et seulement si

$$P(S \cap G) = P(S) \times P(G)$$

Calcul du produit :

$$P(S) \times P(G) = 0{,}7 \times 0{,}695 = 0{,}4865$$

Comparaison avec $P(S \cap G) = 0{,}56$ :

$$0{,}56 \neq 0{,}4865$$

$$\boxed{S \text{ et } G \text{ ne sont PAS indépendants}}$$

Interprétation. C'était prévisible : la probabilité de gagner le point dépend de la réussite du premier service ($80\ \%$ si réussi, contre $45\ \%$ sinon). Les deux évènements sont donc liés.

Autre façon de le voir : $P_G(S) = 0{,}806 \neq P(S) = 0{,}7$. Si les évènements étaient indépendants, connaître $G$ ne changerait rien à la probabilité de $S$ — ce n'est pas le cas.

a. Loi de $X$. Les trois conditions du schéma de Bernoulli sont réunies :

• $n = 20$ tests identiques ;
• deux issues par test : conforme (succès) ou non ;
• tests indépendants (tirage avec remise), probabilité constante $p = 0{,}85$.

$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(20\,;\ 0{,}85)}$$

b. Probabilité $P(X \leqslant 18)$. À la calculatrice (binomFRép / binomcdf) :

$$\boxed{P(X \leqslant 18) \approx 0{,}824}$$

Interprétation : dans $82{,}4\ \%$ des lots de $20$ balles, au plus $18$ sont conformes — autrement dit, il y a très souvent au moins $2$ balles défectueuses.

c. Au moins deux balles non conformes. « Au moins $2$ non conformes » sur $20$ signifie « au plus $18$ conformes » :

$$\text{(au moins 2 non conformes)} \iff (X \leqslant 18)$$

En effet, si $2$ balles ou plus sont défectueuses, alors $18$ balles ou moins sont conformes.

$$\boxed{P(\text{au moins 2 non conformes}) = P(X \leqslant 18) \approx 0{,}824}$$

L'astuce : traduire l'énoncé (formulé sur les non conformes) en termes de $X$ (qui compte les conformes) évite d'introduire une seconde variable aléatoire.

d. Espérance.

$$E(X) = np = 20 \times 0{,}85$$

$$\boxed{E(X) = 17}$$

Interprétation : sur $20$ balles, on s'attend en moyenne à $17$ conformes — et donc $3$ défectueuses.

a. Espérance et variance de $M_n$. Chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}85$, donc $E(X_i) = 0{,}85$ et $V(X_i) = 0{,}85 \times 0{,}15 = 0{,}1275$.

Espérance — par linéarité, sans hypothèse :

$$E(M_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \times n \times 0{,}85$$

$$\boxed{E(M_n) = 0{,}85}$$

Variance — l'indépendance est indispensable, et le facteur $\frac{1}{n}$ passe au carré :

$$V(M_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} V(X_i) = \frac{1}{n^2} \times n \times 0{,}1275$$

$$\boxed{V(M_n) = \frac{0{,}1275}{n}}$$

b. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour tout $\delta > 0$ :

$$P\Big(\left|M_n - E(M_n)\right| \geqslant \delta\Big) \leqslant \frac{V(M_n)}{\delta^2}$$

Reconnaître l'intervalle. L'intervalle $]0{,}75\,;0{,}95[$ est centré sur $0{,}85$ :

$$0{,}85 - 0{,}75 = 0{,}1 \qquad \text{et} \qquad 0{,}95 - 0{,}85 = 0{,}1$$

Donc « $0{,}75 < M_n < 0{,}95$ » équivaut à « $\left|M_n - 0{,}85\right| < 0{,}1$ ». On prend $\delta = 0{,}1$.

Passer à l'évènement contraire :

$$P\big(0{,}75 < M_n < 0{,}95\big) = 1 - P\Big(\left|M_n - 0{,}85\right| \geqslant 0{,}1\Big) \geqslant 1 - \frac{V(M_n)}{0{,}1^2}$$

$$\geqslant 1 - \frac{\frac{0{,}1275}{n}}{0{,}01} = 1 - \frac{0{,}1275}{0{,}01\,n} = 1 - \frac{12{,}75}{n}$$

$$\boxed{P\big(0{,}75 < M_n < 0{,}95\big) \geqslant 1 - \frac{12{,}75}{n}}$$ $\blacksquare$

c. Recherche de $n$. Il suffit que la minoration atteigne $0{,}9$ :

$$1 - \frac{12{,}75}{n} > 0{,}9 \iff \frac{12{,}75}{n} < 0{,}1 \iff n > \frac{12{,}75}{0{,}1} = 127{,}5$$

Comme $n$ est entier :

$$\boxed{n = 128 \text{ balles conviennent}}$$

Vérification : avec $n = 128$, la minoration vaut $1 - \dfrac{12{,}75}{128} \approx 1 - 0{,}0996 \approx 0{,}900 > 0{,}9$ ✓

Interprétation. Avec un échantillon de $128$ balles, on est assuré à plus de $90\ \%$ que la proportion de conformes tombe entre $75\ \%$ et $95\ \%$. Bienaymé-Tchebychev vaut pour n'importe quelle loi, mais reste pessimiste : un calcul direct montrerait qu'un échantillon bien plus petit suffit.

$$\boxed{\textbf{Réponse c : sécantes}}$$

Les vecteurs directeurs.

$$\vec{u_1}\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$

Parallèles ? Non : $\dfrac{-3}{1} = -3$ mais $\dfrac{2}{2} = 1$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires. Réponse a écartée.

Orthogonales ? On calcule le produit scalaire des directions :

$$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = (-3) \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1 = -3 + 4 + 1 = 2 \neq 0$$

Les directions ne sont pas orthogonales. Réponse b écartée.

Sécantes ? On cherche un point commun :

$$\left\{\begin{array}{l} 1 - 3t = -4 + s \\ 4 + 2t = 2 + 2s \\ t = -1 + s \end{array}\right.$$

La troisième équation donne $s = t + 1$. On reporte dans la deuxième :

$$4 + 2t = 2 + 2(t + 1) = 4 + 2t \qquad \text{(toujours vraie)}$$

On reporte dans la première :

$$1 - 3t = -4 + (t + 1) = t - 3 \iff 4 = 4t \iff t = 1$$

d'où $s = 2$. Vérification dans les trois équations : le point est $(-2\,;6\,;1)$ dans les deux droites ✓

Le système est compatible : les droites se coupent au point $(-2\,;6\,;1)$. Elles sont sécantes.

$$\boxed{\textbf{Réponse b : } d \text{ strictement parallèle à } P}$$

Le vecteur directeur de $d$ et le vecteur normal de $P$.

$$\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} \qquad \vec{n}\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}$$

Étape 1 — la droite est-elle parallèle au plan ? Une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal :

$$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 4 + (-1) \times 2 + 2 \times (-1) = 4 - 2 - 2 = 0$$

Le produit scalaire est nul : $\vec{u} \perp \vec{n}$, donc $d$ est parallèle au plan (ou incluse dedans). Réponse c écartée.

Étape 2 — incluse ou strictement parallèle ? Il faut tester si un point de $d$ appartient à $P$. Prenons le point $A(1\,;3\,;1)$ (obtenu pour $t = 0$) et injectons-le dans l'équation de $P$ :

$$4 \times 1 + 2 \times 3 - 1 + 3 = 4 + 6 - 1 + 3 = 12 \neq 0$$

Le point $A$ n'appartient pas à $P$. La droite n'est donc pas incluse dans le plan.

$$\boxed{d \text{ est STRICTEMENT parallèle à } P}$$

Le raisonnement en deux temps est indispensable : le produit scalaire nul ne distingue pas « incluse » de « strictement parallèle ». Seul le test d'un point tranche.

$$\boxed{\textbf{Réponse a : } A, B, C, D \text{ ne sont pas coplanaires}}$$

On teste chaque proposition.

Vecteurs utiles :

$$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \vec{CD} = D - C = \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix} \qquad \vec{AC} = C - A = \begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}$$

Proposition c — $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ colinéaires ? On teste : si $\vec{AB} = k\,\vec{CD}$, alors $4 = -2k$ donne $k = -2$, mais $1 = -k$ donne $k = -1$. Contradiction : ils ne sont pas colinéaires. Proposition c fausse.

Proposition b — $A$, $B$, $C$ alignés ? Ils le seraient si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ étaient colinéaires. Or $\vec{AB}$ a sa troisième coordonnée nulle, pas $\vec{AC}$ : ils ne sont pas colinéaires. Proposition b fausse.

Proposition a — les quatre points sont-ils coplanaires ? Quatre points sont coplanaires si $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires, ce qui se teste par le déterminant (qui doit être nul).

$$\vec{AD} = D - A = \begin{pmatrix}-6\\1\\4\end{pmatrix}$$

$$\det\left(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\right) = \begin{vmatrix} 4 & -4 & -6 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix}$$

On développe selon la première colonne :

$$= 4 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} -4 & -6 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} + 0$$

$$= 4 \times (8 - 4) - 1 \times (-16 + 24) = 4 \times 4 - 8 = 16 - 8 = 8$$

$$\boxed{\det = 8 \neq 0}$$

Le déterminant est non nul : les vecteurs ne sont pas coplanaires, donc les quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas coplanaires. Proposition a vraie.

Le piège de cette question : $\vec{AB}(4\,;1\,;0)$ et $\vec{CD}(-2\,;-1\,;0)$ ont tous deux leur troisième coordonnée nulle, ce qui suggère une colinéarité. Mais le rapport des deux premières coordonnées ($-2$ contre $-1$) diffère : ils ne le sont pas.

$$\boxed{\textbf{Réponse c}}$$

On teste chaque proposition.

Proposition a — $R(1\,;1\,;-2)$ dans les deux plans ?

Dans $Q$ : $3 \times 1 - 2 \times 1 + (-2) + 1 = 3 - 2 - 2 + 1 = 0$ ✓

Dans $Q'$ : $4 \times 1 + 1 - (-2) + 3 = 4 + 1 + 2 + 3 = 10 \neq 0$ ✗

$R$ n'appartient pas à $Q'$. Proposition a fausse.

Proposition b — plans orthogonaux ? On teste l'orthogonalité des vecteurs normaux $\vec{n}(3\,;-2\,;1)$ et $\vec{n'}(4\,;1\,;-1)$ :

$$\vec{n} \cdot \vec{n'} = 3 \times 4 + (-2) \times 1 + 1 \times (-1) = 12 - 2 - 1 = 9 \neq 0$$

Les normaux ne sont pas orthogonaux. Proposition b fausse.

Proposition c — la droite proposée est-elle l'intersection ? Il faut vérifier qu'un point courant de la droite, $M(t\,;7t+4\,;11t+7)$, appartient aux deux plans, quel que soit $t$.

Dans $Q$ :

$$3t - 2(7t + 4) + (11t + 7) + 1 = 3t - 14t - 8 + 11t + 7 + 1 = (3 - 14 + 11)t + 0 = 0 \qquad \checkmark$$

Dans $Q'$ :

$$4t + (7t + 4) - (11t + 7) + 3 = 4t + 7t - 11t + 4 - 7 + 3 = 0 \times t + 0 = 0 \qquad \checkmark$$

Les deux équations sont satisfaites pour tout $t$ : la droite est contenue dans $Q$ et dans $Q'$, elle est donc leur intersection.

$$\boxed{Q \text{ et } Q' \text{ sont sécants selon cette droite}}$$

Le vecteur normal des deux plans n'étant pas colinéaire, les plans sont bien sécants — et l'on vérifie que la droite proposée convient, plutôt que de résoudre le système.

Valeur de $v_1$. On applique la relation avec $v_0 = \ln 4$, en utilisant $e^{\ln 4} = 4$ :

$$v_1 = \ln\left(-1 + 2\,e^{v_0}\right) = \ln\left(-1 + 2 \times 4\right) = \ln(-1 + 8)$$

$$\boxed{v_1 = \ln 7}$$

Valeur de $w_0$. Par définition, avec $e^{v_0} = e^{\ln 4} = 4$ :

$$w_0 = -1 + e^{v_0} = -1 + 4$$

$$\boxed{w_0 = 3}$$

Contrôle avec la feuille de calcul : $v_0 = \ln 4 \approx 1{,}386$ et $v_1 = \ln 7 \approx 1{,}946$ — conformes aux cellules B2 et B3 ✓

a. Choix de la formule. On examine les trois candidates.

• Formule 1 — il manque le signe =. Sans lui, le tableur affiche le texte littéral, pas un calcul. ✗
• Formule 3 — elle utilise EXP(A2), or A2 contient l'indice $n$, pas le terme $v_n$. Elle calculerait $\ln(-1 + 2e^{0}) = \ln 1 = 0$, ce qui est faux. ✗
• Formule 2 — elle commence par = et utilise B2, la cellule du terme précédent $v_n$. Elle calcule bien $v_{n+1} = \ln\left(-1 + 2\,e^{v_n}\right)$. ✓

$$\boxed{\text{FORMULE 2}}$$

La double erreur à repérer : l'absence de = (formule 1) et la confusion entre la colonne des indices (A) et celle des termes (B) — c'est le piège de la formule 3.

b. Conjecture. À la lecture de la colonne B :

$$v_0 \approx 1{,}386 < v_1 \approx 1{,}946 < v_2 \approx 2{,}565 < \cdots$$

Les termes augmentent, et sans borne apparente.

$$\boxed{\text{Conjecture : la suite } (v_n) \text{ est CROISSANTE}}$$

c. Démonstration par récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $v_{n+1} > v_n$ » (c'est-à-dire « la suite croît au rang $n$ »).

Initialisation ($n = 0$). $v_0 = \ln 4$ et $v_1 = \ln 7$. Comme $7 > 4$ et $\ln$ est croissante :

$$v_1 = \ln 7 > \ln 4 = v_0 \qquad \checkmark$$

Hérédité. Supposons $v_{n+1} > v_n$. Montrons $v_{n+2} > v_{n+1}$.

On part de l'hypothèse et on applique successivement des fonctions croissantes, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

$$v_{n+1} > v_n$$

$$\underset{\exp \text{ croissante}}{\implies} \ e^{v_{n+1}} > e^{v_n} \ \implies \ 2\,e^{v_{n+1}} > 2\,e^{v_n} \ \implies \ -1 + 2\,e^{v_{n+1}} > -1 + 2\,e^{v_n}$$

Les deux membres sont strictement positifs (car $v_n > 0$ donne $e^{v_n} > 1$, donc $-1 + 2e^{v_n} > 1 > 0$). On peut donc composer par $\ln$, croissante :

$$\ln\left(-1 + 2\,e^{v_{n+1}}\right) > \ln\left(-1 + 2\,e^{v_n}\right)$$

Or ces deux quantités sont exactement $v_{n+2}$ et $v_{n+1}$ :

$$v_{n+2} > v_{n+1}$$

C'est $\mathcal{P}(n+1)$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $(v_n)$ est strictement croissante. $\blacksquare$

Le point technique : la démonstration enchaîne trois fonctions croissantes ($\exp$, l'affine $x \mapsto -1 + 2x$, puis $\ln$). Chacune conserve l'ordre — c'est ce qui fait « remonter » l'inégalité de $v_{n+1} > v_n$ à $v_{n+2} > v_{n+1}$.

a. Nature de $(w_n)$. On calcule $w_{n+1}$ en revenant à sa définition, puis en utilisant la relation de récurrence sur $(v_n)$.

$$w_{n+1} = -1 + e^{v_{n+1}} = -1 + e^{\ln\left(-1 + 2\,e^{v_n}\right)}$$

L'exponentielle et le logarithme s'annulent ($e^{\ln a} = a$) :

$$w_{n+1} = -1 + \left(-1 + 2\,e^{v_n}\right) = -2 + 2\,e^{v_n}$$

On factorise par $2$ pour faire apparaître $w_n$ :

$$w_{n+1} = 2\left(-1 + e^{v_n}\right) = 2\,w_n$$

$$\boxed{w_{n+1} = 2\,w_n}$$

La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $q = 2$, de premier terme $w_0 = 3$ (question 1). $\blacksquare$

C'est tout l'intérêt du changement de variable : la suite $(v_n)$, définie par une relation complexe mêlant $\ln$ et $\exp$, se transforme en une simple suite géométrique via $w_n = -1 + e^{v_n}$.

b. Expression de $v_n$. Pour une suite géométrique, $w_n = w_0 \times q^{\,n}$ :

$$w_n = 3 \times 2^{\,n}$$

On revient à $v_n$. Par définition, $w_n = -1 + e^{v_n}$, donc

$$e^{v_n} = w_n + 1 = 3 \times 2^{\,n} + 1$$

On compose par $\ln$ :

$$\boxed{v_n = \ln\left(1 + 3 \times 2^{\,n}\right)}$$ $\blacksquare$

Contrôle :
• $v_0 = \ln(1 + 3) = \ln 4$ ✓
• $v_1 = \ln(1 + 6) = \ln 7$ ✓
• $v_2 = \ln(1 + 12) = \ln 13 \approx 2{,}565$ ✓ (conforme à la feuille de calcul)

c. Limite. Quand $n \to +\infty$, on a $2^{\,n} \to +\infty$, donc $1 + 3 \times 2^{\,n} \to +\infty$. Par composition avec $\ln$ (dont la limite en $+\infty$ est $+\infty$) :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty}$$

Cela confirme la conjecture de la question 2 : la suite croît, et ce sans borne. La feuille de calcul le laissait deviner — les termes augmentent régulièrement d'environ $\ln 2 \approx 0{,}69$ à chaque étape, ce qui est cohérent car $v_{n+1} - v_n \to \ln 2$.

Ce que fait l'algorithme. Il part de $V = v_0 = \ln 4$ et calcule les termes successifs de la suite $(v_n)$ (la ligne V = ln(2*exp(V) - 1) est exactement la relation de récurrence). Il s'arrête dès que $V \geqslant S$, et renvoie le rang $n$ atteint.

Autrement dit, seuil(S) renvoie le plus petit rang $n$ tel que $v_n \geqslant S$.

Pourquoi l'algorithme se termine toujours — c'est la question. Le risque, avec une boucle while, est qu'elle tourne indéfiniment si la condition $V < S$ ne devient jamais fausse.

Or nous avons démontré (question 3.c) que :

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$$

Conséquence. Quelle que soit la valeur de $S$ — aussi grande soit-elle — la suite $(v_n)$ finit par la dépasser. Par définition de la limite $+\infty$, il existe un rang à partir duquel $v_n \geqslant S$.

$$\boxed{\begin{array}{l} \text{Puisque } v_n \to +\infty, \text{ il existe toujours un rang } n \text{ tel que } v_n \geqslant S. \\[4pt] \text{La condition } V < S \text{ finit donc par devenir fausse : la boucle s'arrête,} \\[4pt] \text{et l'algorithme renvoie une valeur pour tout } S. \end{array}}$$ $\blacksquare$

Le lien entre les deux questions est essentiel : c'est la limite infinie établie en 3.c qui garantit la terminaison de l'algorithme. Si la suite avait convergé vers une limite finie $\ell$, alors pour tout $S > \ell$ la boucle ne s'arrêterait jamais — l'algorithme ne renverrait rien.

On choisit $2$ entiers ordonnés (le couple $(a\,;c)$), sans remise ($a \neq c$), parmi $60$.

• $60$ possibilités pour $a$ ;
• puis $59$ possibilités pour $c$ (l'entier $a$ est retiré).

$$60 \times 59$$

$$\boxed{3\,540 \text{ couples}}$$

C'est un arrangement de $2$ éléments parmi $60$ : l'ordre compte (le rôle de $a$ et de $c$ diffère dans l'équation) et il n'y a pas de répétition (tirage sans remise).

Rappel. Comme $a \neq 0$ (il est choisi non nul), $ax^2 + 2x + c = 0$ est bien une équation du second degré. Elle a deux solutions réelles distinctes si et seulement si son discriminant est strictement positif.

Calcul du discriminant, avec les coefficients $a$, $b = 2$ et $c$ :

$$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4ac = 4 - 4ac$$

Condition de deux racines distinctes :

$$\Delta > 0 \iff 4 - 4ac > 0 \iff 4 > 4ac \iff 1 > ac$$

$$\boxed{M \text{ a lieu } \iff ac < 1}$$ $\blacksquare$

La condition se ramène donc à une simple comparaison du produit $ac$ à $1$ — ce qui va rendre le dénombrement de la question suivante possible.

L'évènement contraire. D'après la question 2 :

$$\overline{M} \iff ac \geqslant 1$$

Il faut compter les couples $(a\,;c)$ avec $a \neq c$, tous deux dans $\{-30\,;\ldots\,;30\} \setminus \{0\}$, tels que $ac \geqslant 1$.

Quand a-t-on $ac \geqslant 1$ ? Comme $a$ et $c$ sont des entiers non nuls, $ac \geqslant 1$ signifie simplement $ac > 0$, c'est-à-dire que $a$ et $c$ ont le MÊME signe.

(Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, $ac \leqslant -1 < 1$, donc $M$ est réalisé.)

Décompte par les signes. Il y a $30$ entiers positifs ($1$ à $30$) et $30$ entiers négatifs ($-30$ à $-1$).

Cas 1 — $a$ et $c$ tous deux positifs : on choisit un couple ordonné sans remise parmi les $30$ positifs :

$$30 \times 29 = 870$$

Cas 2 — $a$ et $c$ tous deux négatifs : de même parmi les $30$ négatifs :

$$30 \times 29 = 870$$

Total :

$$870 + 870 = 1\,740$$

$$\boxed{\overline{M} \text{ comporte } 1\,740 \text{ issues}}$$ $\blacksquare$

L'astuce décisive : pour des entiers non nuls, la condition $ac \geqslant 1$ équivaut à $ac > 0$, donc à « même signe ». Cela transforme un décompte a priori compliqué en un simple dénombrement par blocs.

On passe par l'évènement contraire, puisque $\overline{M}$ a été dénombré à la question précédente.

$$P(M) = 1 - P\left(\overline{M}\right) = 1 - \frac{1\,740}{3\,540}$$

$$P(M) = \frac{3\,540 - 1\,740}{3\,540} = \frac{1\,800}{3\,540} = \frac{30}{59}$$

$$P(M) = 0{,}5084\ldots$$

$$\boxed{P(M) \approx 0{,}51}$$

Interprétation. En choisissant $a$ et $c$ au hasard, l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ a un peu plus d'une chance sur deux d'admettre deux solutions distinctes.

Cohérent avec l'analyse par les signes : $M$ correspond aux couples de signes opposés, légèrement plus nombreux que les couples de même signe — d'où une probabilité juste au-dessus de $0{,}5$.

a. L'équation homogène. On réécrit $y' + 10y = 0$ sous la forme du cours :

$$y' = -10\,y$$

C'est $y' = ay$ avec $a = -10$ :

$$\boxed{y(x) = C\,e^{-10x}, \qquad C \in \mathbb{R}}$$

b. Vérification de la solution particulière. On calcule $f' + 10f$ et l'on vérifie qu'on retombe sur le second membre.

Dérivée de $f$ — produit de $u = 6x^2 + 2x - 2$ et $v = e^{-5x+1}$, avec $u' = 12x + 2$ et $v' = -5\,e^{-5x+1}$ :

$$f'(x) = (12x + 2)e^{-5x+1} + \left(6x^2 + 2x - 2\right) \times \left(-5\,e^{-5x+1}\right)$$

On factorise par $e^{-5x+1}$ :

$$f'(x) = \Big[12x + 2 - 5\left(6x^2 + 2x - 2\right)\Big]e^{-5x+1} = \left(-30x^2 + 2x + 12\right)e^{-5x+1}$$

Somme $f' + 10f$ :

$$f' + 10f = \left(-30x^2 + 2x + 12\right)e^{-5x+1} + 10\left(6x^2 + 2x - 2\right)e^{-5x+1}$$

On regroupe dans le crochet :

$$= \Big[\left(-30 + 60\right)x^2 + \left(2 + 20\right)x + \left(12 - 20\right)\Big]e^{-5x+1} = \left(30x^2 + 22x - 8\right)e^{-5x+1}$$

C'est exactement le second membre de $(E)$ :

$$\boxed{f \text{ est une solution particulière de } (E)}$$ $\blacksquare$

c. Toutes les solutions. D'après la structure des solutions d'une équation différentielle linéaire :

$$\text{solution générale de } (E) = \text{une solution particulière} + \text{solution générale de l'homogène}$$

Attention — le point où beaucoup se trompent. La constante $C$ multiplie la solution de l'homogène, c'est-à-dire $e^{-10x}$ — et non $e^{-5x+1}$ :

$$\boxed{y(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)e^{-5x+1} + C\,e^{-10x}, \qquad C \in \mathbb{R}}$$

L'erreur classique serait d'écrire $\left(6x^2 + 2x - 2 + C\right)e^{-5x+1}$. C'est faux : les deux exponentielles $e^{-5x+1}$ et $e^{-10x}$ sont différentes, elles ne peuvent pas se regrouper. On peut le vérifier — une telle expression ne satisfait pas $(E)$.