Bac Maths 2025 Polynésie Septembre

Traduction de l'énoncé.

$$P(A) = 0{,}16 \quad \text{donc} \quad P\left(\overline{A}\right) = 0{,}84$$

$$P_A(R) = 0{,}747 \qquad P_{\overline{A}}(R) = 0{,}568$$

Formule des probabilités totales. Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers :

$$P(R) = P(A \cap R) + P\left(\overline{A} \cap R\right)$$

$$P(R) = \underbrace{0{,}16 \times 0{,}747}_{0{,}11952} + \underbrace{0{,}84 \times 0{,}568}_{0{,}47712}$$

$$\boxed{P(R) = 0{,}59664 \approx 0{,}597}$$ $\blacksquare$

Interprétation. Environ $59{,}7\ \%$ des jeunes obtiennent leur permis dès la première tentative, toutes formations confondues.

Autrement dit, près de $4$ jeunes sur $10$ échouent à leur premier passage.

Une remarque qui prépare la question 3. Le taux global ($59{,}7\ \%$) est bien plus proche du taux de la formation classique ($56{,}8\ \%$) que de celui de la conduite accompagnée ($74{,}7\ \%$). C'est logique : la conduite accompagnée ne représente que $16\ \%$ des jeunes, son excellent taux pèse donc peu dans la moyenne.

Attention au sens du conditionnement. On cherche $P_R(A)$ — le permis est obtenu du premier coup, on remonte vers la formation suivie — et non $P_A(R)$, qui est donné par l'énoncé. C'est une probabilité inverse.

$$P_R(A) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}16 \times 0{,}747}{0{,}59664} = \frac{0{,}11952}{0{,}59664}$$

$$P_R(A) = 0{,}20032\ldots$$

$$\boxed{P_R(A) \approx 0{,}200}$$

Interprétation. Parmi les jeunes reçus du premier coup, $20\ \%$ avaient suivi la conduite accompagnée.

Ce chiffre mérite qu'on s'y arrête. La conduite accompagnée ne représente que $16\ \%$ des candidats… mais $20\ \%$ des reçus du premier coup. Elle est donc sur-représentée parmi les réussites — ce qui confirme son efficacité.

Une comparaison éclairante : si les deux formations avaient le même taux de réussite, on trouverait exactement $P_R(A) = P(A) = 0{,}16$. L'écart entre $0{,}20$ et $0{,}16$ mesure l'avantage apporté par la conduite accompagnée.

Mise en équation. Notons $p$ la proportion de jeunes en conduite accompagnée. Le taux global s'écrit, par la formule des probabilités totales :

$$P(R) = p \times 0{,}747 + (1 - p) \times 0{,}568$$

On développe :

$$P(R) = 0{,}747\,p + 0{,}568 - 0{,}568\,p = 0{,}179\,p + 0{,}568$$

Lecture de cette formule : partant d'un socle de $56{,}8\ \%$ (si personne ne fait la conduite accompagnée), chaque point de proportion en plus rapporte $0{,}179$ point de réussite.

Résolution de l'inéquation :

$$0{,}179\,p + 0{,}568 > 0{,}70$$

$$0{,}179\,p > 0{,}132$$

$$p > \frac{0{,}132}{0{,}179} = \frac{132}{179} \approx 0{,}7374$$

$$\boxed{p > 73{,}8\ \% \text{ environ}}$$

Interprétation, et elle est frappante. Pour que le taux global dépasse $70\ \%$, il faudrait que près de trois jeunes sur quatre suivent la conduite accompagnée — contre $16\ \%$ actuellement.

Pourquoi un tel bond ? Parce que le taux visé ($70\ \%$) est très proche du taux maximal atteignable, celui de la conduite accompagnée elle-même ($74{,}7\ \%$). Même si $100\ \%$ des jeunes la suivaient, le taux global ne dépasserait pas $74{,}7\ \%$. On cherche donc à s'approcher fortement de ce plafond — d'où l'exigence d'une proportion très élevée.

a. Justification de la loi binomiale. Il faut vérifier les trois conditions du schéma de Bernoulli :

• l'expérience consiste à répéter $n = 10$ fois la même épreuve (un candidat passe l'examen) ;
• chaque épreuve n'a que deux issues : le candidat réussit (succès) ou échoue ;
• les épreuves sont indépendantes (l'énoncé le précise), et la probabilité de succès est constante, égale à $p = 0{,}747$ — car tous les candidats ont suivi la conduite accompagnée.

$$\boxed{X \sim \mathcal{B}(10\,;\ 0{,}747)}$$

Le point souvent négligé : la probabilité est constante parce que les 10 candidats viennent de la même formation. Si l'auto-école présentait un mélange des deux formations, la loi ne serait plus binomiale.

b. Probabilité d'au moins 6 réussites. On passe par l'évènement contraire :

$$P(X \geqslant 6) = 1 - P(X \leqslant 5)$$

À la calculatrice (binomFRép / binomcdf) :

$$P(X \geqslant 6) = 0{,}91832\ldots$$

$$\boxed{P(X \geqslant 6) \approx 0{,}918}$$

Interprétation. Il y a environ $92\ \%$ de chances qu'au moins $6$ des $10$ candidats obtiennent leur permis dès la première tentative.

Cohérent avec l'espérance : on attend en moyenne $7{,}47$ réussites (question c). Le seuil de $6$ est en dessous de la moyenne, il est donc très probablement franchi.

c. Espérance et variance. Pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ :

$$E(X) = np = 10 \times 0{,}747$$

$$\boxed{E(X) = 7{,}47}$$

$$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}747 \times 0{,}253$$

$$\boxed{V(X) = 1{,}88991}$$

Interprétation de l'espérance : sur $10$ candidats issus de la conduite accompagnée, l'auto-école peut espérer en voir réussir environ $7{,}5$ dès le premier passage.

a. Expression de $Z$. Les $50$ candidats se répartissent en $10$ (conduite accompagnée) et $40$ (formation classique). Le total des reçus est donc

$$\boxed{Z = X + Y}$$

Espérance. L'espérance est additive, et cela sans aucune hypothèse :

$$E(Z) = E(X) + E(Y) = 7{,}47 + 22{,}53$$

$$\boxed{E(Z) = 30}$$

Variance. Ici, en revanche, l'indépendance est indispensable — c'est elle, et elle seule, qui autorise $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. L'énoncé la garantit explicitement.

$$V(Z) = V(X) + V(Y) = 1{,}88991 + 9{,}81$$

$$\boxed{V(Z) = 11{,}69991}$$

C'est LA distinction du chapitre : l'espérance est toujours additive, la variance ne l'est que sous hypothèse d'indépendance. Une justification qui omet ce point est incomplète.

b. Application de Bienaymé-Tchebychev.

Première étape — traduire l'évènement. « Au plus $20$ ou au moins $40$ » signifie

$$Z \leqslant 20 \qquad \text{ou} \qquad Z \geqslant 40$$

Or $E(Z) = 30$, et l'on remarque que ces deux seuils sont symétriques par rapport à $30$ :

$$30 - 20 = 10 \qquad \text{et} \qquad 40 - 30 = 10$$

L'évènement s'écrit donc exactement :

$$\left|Z - 30\right| \geqslant 10$$

Deuxième étape — appliquer l'inégalité avec $\delta = 10$ :

$$P\Big(\left|Z - E(Z)\right| \geqslant \delta\Big) \leqslant \frac{V(Z)}{\delta^2}$$

$$P\Big(\left|Z - 30\right| \geqslant 10\Big) \leqslant \frac{11{,}69991}{10^2} = \frac{11{,}69991}{100}$$

$$\boxed{P\Big(\left|Z - 30\right| \geqslant 10\Big) \leqslant 0{,}117 < 0{,}12}$$ $\blacksquare$

Interprétation. Il y a moins de $12\ \%$ de chances que le nombre de reçus soit « extrême » — c'est-à-dire inférieur ou égal à $20$, ou supérieur ou égal à $40$. Dans plus de $88\ \%$ des cas, l'auto-école verra passer entre $21$ et $39$ candidats du premier coup.

La clé de la question était de reconnaître la structure $\left|Z - E(Z)\right| \geqslant \delta$ derrière la formulation « au plus… ou au moins… ». Sans cette lecture, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est inapplicable.

Forme du cours. L'équation $y' = ay + b$ a pour solutions

$$y(x) = C\,e^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}$$

Ici $a = 0{,}05$ et $b = -0{,}5$ :

$$-\frac{b}{a} = -\frac{-0{,}5}{0{,}05} = \frac{0{,}5}{0{,}05} = 10$$

Solution générale :

$$y(x) = C\,e^{0{,}05x} + 10$$

Détermination de $C$ par la condition initiale $y(0) = 50$, avec $e^{0} = 1$ :

$$y(0) = C + 10 = 50 \iff C = 40$$

$$\boxed{y(x) = 40\,e^{0{,}05x} + 10}$$

Vérification :
• $y(0) = 40 + 10 = 50$ ✓
• $y' = 40 \times 0{,}05\,e^{0{,}05x} = 2\,e^{0{,}05x}$, et $0{,}05\,y - 0{,}5 = 2\,e^{0{,}05x} + 0{,}5 - 0{,}5 = 2\,e^{0{,}05x}$ ✓

Calcul des valeurs prédites. On évalue $y(x) = 40\,e^{0{,}05x} + 10$ aux instants correspondant aux recensements.



Analyse. Le modèle sous-estime systématiquement la population réelle, et l'écart se creuse au fil du temps : $-2{,}6$, puis $-4{,}1$, puis $-5{,}3$ individus.

$$\boxed{\text{Le modèle 1 est cohérent en ordre de grandeur, mais sa dérive est croissante}}$$

Le défaut de fond de ce modèle. L'expression $40\,e^{0{,}05x} + 10$ croît indéfiniment :

$$\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty$$

Il prévoit donc une population infinie à long terme — ce qui est absurde pour une réserve naturelle, dont les ressources sont limitées. C'est précisément ce défaut que le modèle 2 va corriger.

Condition initiale. Avec $e^{0} = 1$ :

$$f(0) = \frac{800}{1 + 15 \times 1} = \frac{800}{16}$$

$$\boxed{f(0) = 50}$$ ✓

Vérification de l'équation différentielle. Posons, pour alléger, $u = e^{-0{,}05x}$. Alors

$$f = \frac{800}{1 + 15u} \qquad \text{et} \qquad f' = \frac{600\,u}{(1 + 15u)^2} \ \text{(donné par le logiciel)}$$

Calculons le membre de droite de $(E_2)$.

Premier facteur :

$$0{,}05\,f = \frac{0{,}05 \times 800}{1 + 15u} = \frac{40}{1 + 15u}$$

Second facteur — on remarque que $0{,}00125 \times 800 = 1$ :

$$1 - 0{,}00125\,f = 1 - \frac{0{,}00125 \times 800}{1 + 15u} = 1 - \frac{1}{1 + 15u}$$

On met au même dénominateur :

$$1 - 0{,}00125\,f = \frac{(1 + 15u) - 1}{1 + 15u} = \frac{15u}{1 + 15u}$$

Produit des deux :

$$0{,}05\,f\,(1 - 0{,}00125\,f) = \frac{40}{1 + 15u} \times \frac{15u}{1 + 15u} = \frac{600\,u}{(1 + 15u)^2}$$

C'est exactement $f'(x)$ :

$$\boxed{f'(x) = 0{,}05\,f(x)\,\big(1 - 0{,}00125\,f(x)\big)}$$ $\blacksquare$

Le nombre $0{,}00125$ n'est pas arbitraire : c'est $\dfrac{1}{800}$. Le facteur $\left(1 - \dfrac{f}{800}\right)$ s'annule quand $f$ atteint $800$ — c'est le frein qui empêche la population de dépasser la capacité de la réserve.

a. Effectif en 2050. L'année $2050$ correspond à $x = 50$ (années écoulées depuis 2000).

$$f(50) = \frac{800}{1 + 15\,e^{-0{,}05 \times 50}} = \frac{800}{1 + 15\,e^{-2{,}5}}$$

Avec $e^{-2{,}5} \approx 0{,}0821$ :

$$f(50) = \frac{800}{1 + 15 \times 0{,}0821} = \frac{800}{1 + 1{,}2313} = \frac{800}{2{,}2313} \approx 358{,}54$$

$$\boxed{\text{Environ } 359 \text{ individus en 2050}}$$

b. Limite en $+\infty$. Quand $x \to +\infty$, on a $-0{,}05x \to -\infty$, donc

$$e^{-0{,}05x} \longrightarrow 0$$

Le dénominateur tend vers $1 + 15 \times 0 = 1$ :

$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 800}$$

Conséquence graphique :

$$\boxed{\text{La droite d'équation } y = 800 \text{ est ASYMPTOTE HORIZONTALE à } \mathcal{C}}$$

Interprétation concrète. La population ne peut pas dépasser $800$ individus : c'est la capacité d'accueil de la réserve, la population maximale que ses ressources permettent de soutenir.

C'est là toute la supériorité du modèle 2 sur le modèle 1 : le premier prévoyait une croissance infinie, absurde pour un espace fini. Le second intègre une saturation.

c. Croissance de $f$. Le logiciel donne :

$$f'(x) = \frac{600\,e^{-0{,}05x}}{\left(1 + 15\,e^{-0{,}05x}\right)^{2}}$$

• le numérateur $600\,e^{-0{,}05x}$ est strictement positif (une exponentielle ne s'annule jamais) ;
• le dénominateur est un carré, donc strictement positif.

$$f'(x) > 0 \quad \text{pour tout } x \geqslant 0$$

$$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } [0\,;+\infty[}$$

La population augmente continûment, de $50$ individus en 2000 vers sa limite de $800$ — sans jamais l'atteindre.

Résolution de l'inéquation.

$$15\,e^{-0{,}05x} - 1 \geqslant 0 \iff 15\,e^{-0{,}05x} \geqslant 1 \iff e^{-0{,}05x} \geqslant \frac{1}{15}$$

On compose par $\ln$, strictement croissante (le sens de l'inégalité est conservé) :

$$\ln\left(e^{-0{,}05x}\right) \geqslant \ln\left(\frac{1}{15}\right)$$

$$-0{,}05\,x \geqslant -\ln(15)$$

(car $\ln\left(\frac{1}{15}\right) = -\ln 15$)

On divise par $-0{,}05$, qui est NÉGATIF : le sens de l'inégalité CHANGE !

$$x \leqslant \frac{-\ln(15)}{-0{,}05} = \frac{\ln(15)}{0{,}05}$$

Et $\dfrac{1}{0{,}05} = 20$ :

$$\boxed{x \leqslant 20\ln(15)}$$ $\blacksquare$

Valeur numérique — elle servira à la question suivante :

$$20\ln(15) \approx 20 \times 2{,}708 \approx 54{,}16$$

Le piège de la question : oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par $-0{,}05$. On obtiendrait $x \geqslant 20\ln 15$ — exactement le contraire de ce que le logiciel affiche, et la convexité serait lue à l'envers.

a. Convexité. Examinons le signe de $f''$, facteur par facteur :

$$f''(x) = \underbrace{\frac{30\,e^{-0{,}05x}}{\left(1 + 15\,e^{-0{,}05x}\right)^{3}}}_{\text{toujours} \ >\ 0} \times \left(15\,e^{-0{,}05x} - 1\right)$$

Le premier facteur est strictement positif (numérateur : exponentielle ; dénominateur : cube d'une quantité positive).

Le signe de $f''$ est donc celui de $\left(15\,e^{-0{,}05x} - 1\right)$ — et la question 3 vient précisément de le déterminer :

$$15\,e^{-0{,}05x} - 1 \geqslant 0 \iff x \leqslant 20\ln(15) \approx 54{,}16$$



$$\boxed{f \text{ est CONVEXE sur } \left[0\,;20\ln 15\right] \text{ puis CONCAVE sur } \left[20\ln 15\,;+\infty\right[}$$

Point d'inflexion. $f''$ s'annule en changeant de signe en $x = 20\ln(15)$ : c'est bien un point d'inflexion.

Ordonnée — le calcul est élégant. Notons que

$$e^{-0{,}05 \times 20\ln 15} = e^{-\ln 15} = \frac{1}{15}$$

D'où :

$$f\left(20\ln 15\right) = \frac{800}{1 + 15 \times \frac{1}{15}} = \frac{800}{1 + 1} = \frac{800}{2} = 400$$

$$\boxed{\text{Point d'inflexion : } I\left(20\ln 15\ ;\ 400\right) \approx (54{,}2\ ;\ 400)}$$

Remarquable : l'ordonnée du point d'inflexion vaut exactement la moitié de la capacité d'accueil ($800 / 2 = 400$). Ce n'est pas un hasard — c'est une propriété générale des courbes logistiques : le point d'inflexion se situe toujours à mi-hauteur.

b. La direction a-t-elle raison ?

$$\boxed{\textbf{OUI, la direction a raison}}$$

Justification. La vitesse de croissance est $f'$. Or :

• $f'$ augmente quand sa dérivée $f''$ est positive, c'est-à-dire sur $\left[0\,;20\ln 15\right]$ ;
• $f'$ diminue quand $f''$ est négative, c'est-à-dire au-delà.

Le basculement se produit à

$$x = 20\ln(15) \approx 54{,}16 \ \text{ans}$$

Or $54{,}16$ est bien « un peu plus de cinquante ans » ✓ — et le point de départ est l'an 2000, donc le retournement a lieu vers 2054.

Ce que raconte le modèle. La population croît d'abord de plus en plus vite — elle accélère — parce que les naissances augmentent avec l'effectif. Puis, à partir de $400$ individus (la moitié de la capacité), les ressources commencent à manquer : la croissance ralentit, sans jamais s'arrêter tout à fait.

C'est la signature d'une courbe logistique en « S » : démarrage lent, accélération, puis freinage progressif vers la saturation.

Analyse ligne par ligne.

• L = [] crée la liste vide qui accueillera les termes ;
• u = 5 initialise avec $u_0 = 5$ ;
• la boucle doit tourner $k$ fois, pour empiler $k$ valeurs : range(k) ;
• à chaque tour, on stocke d'abord la valeur courante, puis on calcule la suivante ;
• on renvoie la liste L.

Programme complété :

def suite(k):
L = []
u = 5
for i in range(k) :
L.append(u)
u = 2 + log(u**2 - 3)
return(L)

Le point délicat — l'ordre des deux instructions. On empile u avant de le mettre à jour. Dans l'ordre inverse, on stockerait $u_1, u_2, \ldots$ et le terme $u_0 = 5$ n'apparaîtrait jamais dans la liste.

Contrôle : suite(9) renvoie bien $9$ valeurs, commençant par $5$ — conforme à l'affichage de la question suivante ✓

Observation des valeurs.



Première conjecture — sens de variation. Chaque terme est strictement supérieur au précédent :

$$5 < 5{,}0910 < 5{,}1320 < 5{,}1500 < \cdots$$

$$\boxed{\text{Conjecture 1 : la suite } (u_n) \text{ semble CROISSANTE}}$$

Seconde conjecture — convergence. Les écarts entre termes consécutifs s'amenuisent très vite :

$$u_1 - u_0 \approx 0{,}091 \qquad u_2 - u_1 \approx 0{,}041 \qquad u_7 - u_6 \approx 0{,}00066 \qquad u_8 - u_7 \approx 0{,}00029$$

Les valeurs se tassent autour de $5{,}164$ :

$$\boxed{\text{Conjecture 2 : la suite } (u_n) \text{ semble CONVERGER vers une limite proche de } 5{,}164}$$

Ces deux conjectures seront démontrées en partie B, et la valeur exacte de la limite identifiée en partie C.

Que fait mystere(n) ? Elle part de c = 1 et parcourt tous les couples de termes consécutifs de la liste. Dès qu'elle en trouve un qui décroît ($L[i] > L[i+1]$), elle bascule c à $0$.

$$\boxed{\begin{array}{l} \texttt{mystere(n)} = 1 \ \iff \ \text{aucune décroissance sur les } n \text{ premiers termes} \\[4pt] \texttt{mystere(n)} = 0 \ \iff \ \text{au moins un terme décroît} \end{array}}$$

Interprétation du résultat. mystere(10000) renvoie $1$ : aucun des $10\,000$ premiers termes ne décroît.

$$\boxed{\text{NON, cet affichage ne CONTREDIT pas la conjecture — il la CONFORTE}}$$

La suite est bien croissante sur les $10\,000$ premiers termes, ce qui est exactement ce que la conjecture annonçait.

Mais attention — un test numérique ne DÉMONTRE rien.

Vérifier $10\,000$ termes ne prouve pas que la suite est croissante pour tout $n$. Il resterait, en toute rigueur, la possibilité qu'elle se mette à décroître au rang $10\,001$, ou au rang $10^{6}$.

Un exemple célèbre pour s'en convaincre : la suite $u_n = n^2 + n + 41$ produit un nombre premier pour tout $n$ de $0$ à $39$. On serait tenté de conjecturer que c'est toujours vrai. Or $u_{40} = 40^2 + 40 + 41 = 41^2$ n'est pas premier. Quarante vérifications ne suffisaient pas.

C'est précisément pour cela que la partie B existe : elle apporte la démonstration par récurrence, la seule qui vaille pour tout entier $n$.

Dérivation. C'est une composée $\ln(u)$ avec $u = x^2 - 3$ et $u' = 2x$. La dérivée de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$ :

$$\boxed{g'(x) = \frac{2x}{x^2 - 3}}$$

Signe sur $[2\,;+\infty[$.

• Numérateur : $2x \geqslant 4 > 0$ (car $x \geqslant 2$) ;
• Dénominateur : pour $x \geqslant 2$, on a $x^2 \geqslant 4$, donc

$$x^2 - 3 \geqslant 4 - 3 = 1 > 0$$

Le quotient de deux quantités strictement positives est strictement positif :

$$g'(x) > 0 \quad \text{pour tout } x \in [2\,;+\infty[$$

$$\boxed{g \text{ est strictement croissante sur } [2\,;+\infty[}$$ $\blacksquare$

Pourquoi l'intervalle commence à $2$ : c'est exactement la condition qui garantit $x^2 - 3 > 0$, donc l'existence du logarithme. En dessous de $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, la fonction n'est même pas définie.

a. Récurrence. Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$ ».

Initialisation ($n = 0$). On a $u_0 = 5$ et

$$u_1 = 2 + \ln\left(5^2 - 3\right) = 2 + \ln(22) \approx 2 + 3{,}091 \approx 5{,}091$$

On vérifie bien :

$$4 \leqslant 5 \leqslant 5{,}091 \leqslant 6 \qquad \checkmark$$

$\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé : $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$.

Tous ces termes appartiennent à $[2\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $g$ est croissante (question 1). Elle conserve donc l'ordre : on peut lui appliquer l'encadrement.

$$g(4) \leqslant g(u_n) \leqslant g(u_{n+1}) \leqslant g(6)$$

Or $g(u_n) = u_{n+1}$ et $g(u_{n+1}) = u_{n+2}$, par définition de la suite. Calculons les deux bornes :

$$g(4) = 2 + \ln\left(16 - 3\right) = 2 + \ln(13) \approx 2 + 2{,}565 \approx \mathbf{4{,}565}$$

$$g(6) = 2 + \ln\left(36 - 3\right) = 2 + \ln(33) \approx 2 + 3{,}497 \approx \mathbf{5{,}497}$$

L'encadrement devient :

$$4{,}565 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 5{,}497$$

Il reste à recoller aux bornes demandées :

• à gauche : $4 \leqslant 4{,}565$, donc a fortiori $4 \leqslant u_{n+1}$ ✓
• à droite : $5{,}497 \leqslant 6$, donc a fortiori $u_{n+2} \leqslant 6$ ✓

$$4 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 6$$

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$ ✓

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $\blacksquare$

C'est ici que le calcul de $g(4)$ et $g(6)$ est décisif : il faut que $g(4) \geqslant 4$ (pour ne pas sortir par le bas) et $g(6) \leqslant 6$ (pour ne pas sortir par le haut). L'intervalle $[4\,;6]$ est stable par $g$ — c'est ce qui fait tenir toute la récurrence.

b. Convergence. L'encadrement démontré contient deux informations :

• $u_n \leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$ : la suite est croissante — ce qui démontre la première conjecture de la partie A ;
• $u_n \leqslant 6$ pour tout $n$ : la suite est majorée par $6$.

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge.

$$\boxed{(u_n) \text{ CONVERGE vers une limite } \ell, \text{ avec } 4 \leqslant \ell \leqslant 6}$$

Attention : ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. C'est tout l'objet de la partie C.

a. Recherche des solutions. On lit le tableau par morceaux.

---

Sur $[2\,;3]$ — $f$ est croissante.

Le tableau donne $f(2) = 0$ exactement. C'est donc déjà une solution !

$$\boxed{\alpha = 2}$$

Vérification : $f(2) = 2 + \ln\left(4 - 3\right) - 2 = 2 + \underbrace{\ln(1)}_{=\ 0} - 2 = 0$ ✓

Et au-delà de $2$, $f$ croît à partir de $0$ : elle est donc strictement positive sur $]2\,;3]$. Aucune autre solution sur ce morceau.

---

Sur $[3\,;+\infty[$ — $f$ est décroissante.

• $f$ est continue (somme de fonctions continues) ;
• $f$ est strictement décroissante ;
• $f(3) = \ln(6) - 1 \approx 1{,}792 - 1 \approx 0{,}792 > 0$ ;
• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Or $0$ est compris entre $0{,}792$ et $-\infty$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI appliqué à une fonction strictement monotone), l'équation $f(x) = 0$ admet une solution, et une seule, sur cet intervalle. On la note $\beta$.

---

Conclusion.

$$\boxed{f(x) = 0 \text{ admet EXACTEMENT DEUX solutions : } \alpha = 2 \text{ et } \beta > 3}$$ $\blacksquare$

Le piège de la question : se lancer dans le TVI sans remarquer que $f(2) = 0$ est déjà une solution, lisible directement dans le tableau. On ne trouverait alors qu'une solution au lieu de deux.

b. Valeurs.

$$\boxed{\alpha = 2 \quad \text{(valeur exacte)}}$$

Pour $\beta$, on procède par balayage à la calculatrice :

$$f(5{,}164) \approx +0{,}0001 > 0 \qquad f(5{,}165) \approx -0{,}0008 < 0$$

$$\boxed{\beta \approx 5{,}164}$$

(valeur plus précise : $\beta \approx 5{,}16414$)

Étape 1 — la limite est un point fixe de $g$. La fonction $g$ est continue sur $[2\,;+\infty[$ (composée de fonctions continues). En passant à la limite dans la relation $u_{n+1} = g(u_n)$ :

• le membre de gauche $u_{n+1} \to \ell$ ;
• le membre de droite $g(u_n) \to g(\ell)$, par continuité de $g$.

$$\ell = g(\ell) = 2 + \ln\left(\ell^{\,2} - 3\right)$$

Étape 2 — lien avec $f$. En passant tout dans le membre de gauche :

$$2 + \ln\left(\ell^{\,2} - 3\right) - \ell = 0$$

Or c'est exactement la définition de $f$ :

$$\boxed{f(\ell) = 0}$$ $\blacksquare$

Étape 3 — identification. D'après la question 1, l'équation $f(x) = 0$ n'a que deux solutions : $\alpha = 2$ et $\beta \approx 5{,}164$. La limite $\ell$ est donc l'une des deux.

Il faut trancher — et c'est l'encadrement de la partie B qui le permet. On a démontré que

$$4 \leqslant u_n \leqslant 6 \quad \text{pour tout } n$$

Par passage à la limite (les inégalités larges sont conservées) :

$$4 \leqslant \ell \leqslant 6$$

Or $\alpha = 2 \notin [4\,;6]$ : cette valeur est impossible.

$$\boxed{\ell = \beta \approx 5{,}164}$$

Contrôle avec la partie A. L'exécution de suite(9) donnait $u_8 \approx 5{,}16391$ — la suite se rapprochait bien de $5{,}164$ ✓

Tout le problème s'emboîte ici. Sans l'encadrement de la partie B, on saurait seulement que $\ell$ est une solution de $f(x) = 0$, sans pouvoir choisir entre $2$ et $5{,}164$. C'est la conjonction des trois parties qui identifie la limite.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Méthode : intégration par parties. On dérive le logarithme (il disparaît) et on primitive le polynôme.

$$u(x) = \ln x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = \frac{1}{x}$$
$$v'(x) = x \quad \Rightarrow \quad v(x) = \frac{x^2}{2}$$

Formule $\displaystyle\int_a^b uv' = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b u'v$ :

$$\int_1^{e} x\ln x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^{e} - \int_1^{e} \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x$$

Terme tout intégré — avec $\ln e = 1$ et $\ln 1 = 0$ :

$$\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^{e} = \frac{e^2}{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 0 = \frac{e^2}{2}$$

Intégrale restante — le $\frac{1}{x}$ simplifie le $x^2$, c'est tout l'intérêt de la manœuvre :

$$\int_1^{e} \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^{e} = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$$

Conclusion :

$$\int_1^{e} x\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4}$$

$$\boxed{\int_1^{e} x\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}097}$$

L'affirmation est vraie.

Contrôle de vraisemblance : sur $[1\,;e]$ (de longueur $\approx 1{,}72$), la fonction $x\ln x$ varie de $0$ à $e \approx 2{,}72$. Une aire d'environ $2{,}1$ est cohérente ✓