Bac Maths 2025 Nouvelle-Calédonie Jour 1

Premier niveau — le tirage de la boule. Le sac contient $1$ boule A et $3$ boules B, soit $4$ boules :

$$P(A) = \frac{1}{4} \qquad P(B) = P\left(\overline{A}\right) = \frac{3}{4}$$

Second niveau — le tirage du billet, qui dépend de l'urne.

Urne A ($5$ billets, dont $3$ de $50$ €) :

$$P_A(C) = \frac{3}{5} \qquad P_A\left(\overline{C}\right) = \frac{2}{5}$$

Urne B ($4$ billets, dont $1$ de $50$ €) :

$$P_B(C) = \frac{1}{4} \qquad P_B\left(\overline{C}\right) = \frac{3}{4}$$

$$\boxed{\begin{array}{l} P(A) = \tfrac{1}{4}, \ P_A(C) = \tfrac{3}{5} \\[4pt] P(B) = \tfrac{3}{4}, \ P_B(C) = \tfrac{1}{4} \end{array}}$$

Chaque probabilité conditionnelle est une simple proportion de billets de $50$ € dans l'urne concernée.

Il s'agit de $P(A \cap C)$. On multiplie le long du chemin $A$ puis $C$ :

$$P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{5}$$

$$\boxed{P(A \cap C) = \frac{3}{20} = 0{,}15}$$

Interprétation : dans $15\ \%$ des parties, le joueur tire une boule A puis un billet de $50$ €.

Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers : on applique la formule des probabilités totales.

$$P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C)$$

Premier terme (question 2) : $P(A \cap C) = \dfrac{3}{20}$.

Second terme :

$$P(B \cap C) = P(B) \times P_B(C) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$$

Somme — au même dénominateur $80$ :

$$P(C) = \frac{3}{20} + \frac{3}{16} = \frac{12}{80} + \frac{15}{80} = \frac{27}{80}$$

$$\boxed{P(C) = \frac{27}{80} = 0{,}3375}$$ $\blacksquare$

Cette valeur — la probabilité de gagner $50$ € — servira dans tout le reste de l'exercice, jusqu'à la loi des grands nombres.

Attention au sens du conditionnement. On cherche $P_{\overline{C}}(B)$ — le billet est de $10$ €, on remonte vers la boule. C'est une probabilité inverse.

$$P_{\overline{C}}(B) = \frac{P\left(B \cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}$$

Dénominateur — par événement contraire :

$$P\left(\overline{C}\right) = 1 - P(C) = 1 - 0{,}3375 = 0{,}6625$$

Numérateur — chemin $B$ puis $\overline{C}$ :

$$P\left(B \cap \overline{C}\right) = P(B) \times P_B\left(\overline{C}\right) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16} = 0{,}5625$$

Quotient :

$$P_{\overline{C}}(B) = \frac{0{,}5625}{0{,}6625} = \frac{45}{53} = 0{,}8490\ldots$$

$$\boxed{P_{\overline{C}}(B) \approx 0{,}849 > 0{,}80}$$

$$\boxed{\text{OUI, l'affirmation est VRAIE}}$$

Interprétation. Parmi les joueurs ayant obtenu un billet de $10$ €, environ $85\ \%$ avaient tiré une boule B. C'est cohérent : les boules B sont majoritaires dans le sac ($3$ sur $4$), et l'urne B contient surtout des petits billets.

Loi de $X_1$. Le joueur gagne soit $50$ € (avec probabilité $P(C) = 0{,}3375$), soit $10$ € (le reste) :



Espérance.

$$E(X_1) = 50 \times 0{,}3375 + 10 \times 0{,}6625 = 16{,}875 + 6{,}625$$

$$\boxed{E(X_1) = 23{,}50 \ \text{euros}}$$

Variance. On utilise $V(X_1) = E\left(X_1^2\right) - \left[E(X_1)\right]^2$.

Calcul de $E\left(X_1^2\right)$ :

$$E\left(X_1^2\right) = 50^2 \times 0{,}3375 + 10^2 \times 0{,}6625 = 2500 \times 0{,}3375 + 100 \times 0{,}6625$$

$$= 843{,}75 + 66{,}25 = 910$$

Variance :

$$V(X_1) = 910 - 23{,}50^2 = 910 - 552{,}25$$

$$\boxed{V(X_1) = 357{,}75}$$ $\blacksquare$

Interprétation : en moyenne, une partie rapporte $23{,}50$ €. La variance élevée ($357{,}75$, soit un écart-type de $\sqrt{357{,}75} \approx 18{,}9$ €) traduit une forte dispersion — le gain oscille entre $10$ et $50$ €, deux valeurs très éloignées.

a. Espérance de $Y$. L'espérance est additive, sans aucune hypothèse :

$$E(Y) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 23{,}50 + 23{,}50$$

$$\boxed{E(Y) = 47 \ \text{euros}}$$

Logique : deux parties rapportent en moyenne le double d'une seule.

b. Variance de $Y$. L'énoncé précise que le joueur remet la boule et le billet avant de rejouer. Les deux parties se déroulent donc dans des conditions identiques et sans influence l'une sur l'autre : les variables $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.

$$\boxed{\text{C'est cette INDÉPENDANCE qui autorise } V(X_1 + X_2) = V(X_1) + V(X_2)}$$

Le point de méthode, essentiel. L'espérance est toujours additive, mais la variance ne l'est que sous hypothèse d'indépendance. La remise en place, mentionnée dans l'énoncé, n'est pas un détail : c'est la justification de l'additivité de la variance.

Ici, $V(Y) = 357{,}75 + 357{,}75 = 715{,}5$.

Espérance et variance de $Z$.

Espérance — par additivité :

$$E(Z) = 100 \times E(X_1) = 100 \times 23{,}50 = 2\,350$$

Variance — les $100$ parties étant indépendantes, la variance est additive :

$$V(Z) = 100 \times V(X_1) = 100 \times 357{,}75 = 35\,775$$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Elle s'écrit, pour $\delta > 0$ :

$$P\Big(\left|Z - E(Z)\right| \geqslant \delta\Big) \leqslant \frac{V(Z)}{\delta^2}$$

Reconnaître l'intervalle. L'intervalle $]1\,950\,;2\,750[$ est centré sur $E(Z) = 2\,350$ :

$$2\,350 - 1\,950 = 400 \qquad \text{et} \qquad 2\,750 - 2\,350 = 400$$

Donc « $Z \in\, ]1\,950\,;2\,750[$ » équivaut à « $\left|Z - 2\,350\right| < 400$ ». On prend $\delta = 400$.

Passer à l'évènement contraire :

$$P\big(1\,950 < Z < 2\,750\big) = 1 - P\Big(\left|Z - 2\,350\right| \geqslant 400\Big) \geqslant 1 - \frac{V(Z)}{400^2}$$

Calcul :

$$1 - \frac{35\,775}{160\,000} = 1 - 0{,}2236\ldots = 0{,}7764\ldots$$

$$\boxed{P\big(Z \in\, ]1\,950\,;2\,750[\big) \geqslant 0{,}776 > 0{,}75}$$ $\blacksquare$

Interprétation. Sur $100$ parties, le joueur a plus de $75\ \%$ de chances de gagner un total compris entre $1\,950$ € et $2\,750$ €. C'est une illustration de la loi des grands nombres : le gain total se concentre autour de son espérance $2\,350$ €, et cette concentration se resserre à mesure qu'on joue davantage de parties.

Le triangle est rectangle en $B$ si et seulement si $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux.

$$\vec{BA} = A - B = \begin{pmatrix}4-5\\-4-(-3)\\4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$$

$$\vec{BC} = C - B = \begin{pmatrix}6-5\\-2-(-3)\\3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Produit scalaire :

$$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1) \times 1 + (-1) \times 1 + 2 \times 1 = -1 - 1 + 2 = 0$$

$$\boxed{\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 \ \implies \ ABC \text{ est rectangle en } B}$$ $\blacksquare$

Trouver un vecteur normal. Le vecteur $\vec{n}(1\,;-1\,;0)$ (coefficients de l'équation proposée) doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

$$\vec{n} \cdot \vec{BA} = 1 \times (-1) + (-1) \times (-1) + 0 \times 2 = -1 + 1 = 0 \qquad \checkmark$$

$$\vec{n} \cdot \vec{BC} = 1 \times 1 + (-1) \times 1 + 0 \times 1 = 1 - 1 = 0 \qquad \checkmark$$

$\vec{n}$ est bien normal au plan $(ABC)$.

Équation. Elle est de la forme $x - y + d = 0$. On détermine $d$ avec le point $A(4\,;-4\,;4)$ :

$$4 - (-4) + d = 0 \iff 8 + d = 0 \iff d = -8$$

$$\boxed{(ABC) : \ x - y - 8 = 0}$$ $\blacksquare$

Vérifications :

$$B(5\,;-3\,;2) : \ 5 - (-3) - 8 = 0 \ \checkmark \qquad C(6\,;-2\,;3) : \ 6 - (-2) - 8 = 0 \ \checkmark$$

a. Représentation paramétrique de $d$. La droite est orthogonale au plan, donc son vecteur directeur est le vecteur normal $\vec{n}(1\,;-1\,;0)$. Elle passe par $D(5\,;1\,;1)$ :

$$\boxed{d : \ \left\{\begin{array}{l} x = 5 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}}$$

La coordonnée $z$ est constante, car la troisième composante de $\vec{n}$ est nulle.

b. Coordonnées de $H$. Le point $H$ est l'intersection de $d$ et du plan $(ABC)$. On injecte le point courant de $d$ dans l'équation $x - y - 8 = 0$ :

$$(5 + t) - (1 - t) - 8 = 0$$

$$5 + t - 1 + t - 8 = 0 \iff 2t - 4 = 0 \iff t = 2$$

On reporte $t = 2$ dans la représentation paramétrique :

$$x = 5 + 2 = 7 \qquad y = 1 - 2 = -1 \qquad z = 1$$

$$\boxed{H(7\,;-1\,;1)}$$

Contrôle : $H$ appartient bien au plan — $7 - (-1) - 8 = 0$ ✓

c. Distance $DH$.

$$\vec{DH} = H - D = \begin{pmatrix}7-5\\-1-1\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}$$

$$DH = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$

$$\boxed{DH = 2\sqrt{2}}$$ $\blacksquare$

$DH$ est la distance de $D$ au plan $(ABC)$ : c'est la hauteur de la pyramide $ABCD$ relative à la base $ABC$, qui servira à la question 4.

a. Volume de la pyramide. On prend $ABC$ comme base et $DH$ comme hauteur (question 3.c).

Aire de la base $ABC$ — le triangle étant rectangle en $B$ (question 1), son aire est un demi-produit des deux côtés de l'angle droit :

$$\left\|\vec{BA}\right\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \qquad \left\|\vec{BC}\right\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

$$\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Volume — avec la formule donnée et $h = DH = 2\sqrt{2}$ :

$$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{ABC} \times DH = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2}$$

$$= \frac{1}{3} \times 3 \times \frac{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \times 3 \times \frac{2 \times 2}{2} = \frac{1}{3} \times 3 \times 2 = 2$$

$$\boxed{V = 2}$$ $\blacksquare$

b. Distance de $A$ au plan $(BCD)$. L'astuce : le volume de la même pyramide se calcule aussi en prenant $BCD$ comme base et la distance $d(A\,;(BCD))$ comme hauteur.

$$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{BCD} \times d(A\,;(BCD))$$

On isole la distance, avec $V = 2$ et $\mathcal{A}_{BCD} = \dfrac{\sqrt{42}}{2}$ :

$$d(A\,;(BCD)) = \frac{3V}{\mathcal{A}_{BCD}} = \frac{3 \times 2}{\frac{\sqrt{42}}{2}} = \frac{6 \times 2}{\sqrt{42}} = \frac{12}{\sqrt{42}}$$

On rationalise :

$$d(A\,;(BCD)) = \frac{12}{\sqrt{42}} = \frac{12\sqrt{42}}{42} = \frac{2\sqrt{42}}{7}$$

$$\boxed{d(A\,;(BCD)) = \frac{2\sqrt{42}}{7} \approx 1{,}85}$$

L'idée à retenir : un même volume, calculé avec deux bases différentes, donne une équation dont la distance cherchée est la seule inconnue. C'est bien plus rapide que de trouver l'équation du plan $(BCD)$ puis d'appliquer la formule de distance.

Dérivation. C'est un produit $u = x$ et $v = e^{1-x}$, avec $u' = 1$ et $v' = -e^{1-x}$ :

$$f_1'(x) = 1 \times e^{1-x} + x \times \left(-e^{1-x}\right)$$

On factorise par $e^{1-x}$ :

$$\boxed{f_1'(x) = (1 - x)\,e^{1-x}}$$

Signe sur $[0\,;1[$. Le facteur $e^{1-x}$ est toujours strictement positif. Quant à $(1 - x)$ :

$$1 - x > 0 \iff x < 1$$

Sur $[0\,;1[$, on a bien $x < 1$, donc $1 - x > 0$ :

$$f_1'(x) > 0 \quad \text{pour tout } x \in [0\,;1[$$ $\blacksquare$

Remarque : en $x = 1$, on a $f_1'(1) = 0$ — c'est pourquoi l'énoncé exclut cette borne de l'intervalle de stricte positivité.

D'après la question 1, $f_1' \geqslant 0$ sur $[0\,;1]$ (strictement positive sur $[0\,;1[$, nulle en $1$). La fonction $f_1$ est donc strictement croissante sur $[0\,;1]$.

Valeurs aux bornes :

$$f_1(0) = 0 \times e^{1} = 0$$

$$f_1(1) = 1 \times e^{1-1} = 1 \times e^{0} = 1$$



$$\boxed{f_1 \text{ croît strictement de } 0 \text{ à } 1 \text{ sur } [0\,;1]}$$

On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

• $f_1$ est continue sur $[0\,;1]$ (produit de fonctions continues) ;
• $f_1$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$ (question 2) ;
• $f_1(0) = 0$ et $f_1(1) = 1$.

Or la valeur $0{,}1$ est comprise strictement entre $0$ et $1$ :

$$0 < 0{,}1 < 1$$

$$\boxed{\text{L'équation } f_1(x) = 0{,}1 \text{ admet une UNIQUE solution dans } [0\,;1]}$$ $\blacksquare$

La continuité donne l'existence, la stricte croissance donne l'unicité : les deux conditions sont indispensables.

a. Encadrement des puissances. Soit $x \in [0\,;1]$.

• Positivité : $x \geqslant 0$, donc toute puissance $x^{\,n} \geqslant 0$.
• Décroissance en $n$ : partons de $0 \leqslant x \leqslant 1$ et multiplions les trois membres par $x^{\,n} \geqslant 0$ (ce qui conserve le sens des inégalités) :

$$0 \times x^{\,n} \leqslant x \times x^{\,n} \leqslant 1 \times x^{\,n}$$

$$\boxed{0 \leqslant x^{\,n+1} \leqslant x^{\,n}}$$ $\blacksquare$

Intuitivement : sur $[0\,;1]$, multiplier par $x$ (un nombre $\leqslant 1$) fait diminuer — d'où $x^{\,n+1} \leqslant x^{\,n}$.

b. Encadrement des intégrales. On multiplie l'encadrement précédent par $e^{1-x}$, qui est positif (le sens est conservé) :

$$0 \leqslant x^{\,n+1}\,e^{1-x} \leqslant x^{\,n}\,e^{1-x}$$

Puis on intègre sur $[0\,;1]$ — l'intégration conserve les inégalités entre fonctions (positivité de l'intégrale) :

$$\int_0^1 0\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 x^{\,n+1}e^{1-x}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 x^{\,n}e^{1-x}\,\mathrm{d}x$$

$$\boxed{0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n}$$ $\blacksquare$

c. Convergence. L'encadrement contient deux informations :

• $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n$ : la suite est décroissante ;
• $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $0$.

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

$$\boxed{(u_n) \text{ est convergente}}$$

Le théorème donne l'existence de la limite ; la partie B.3 en déterminera la valeur.

a. Intégration par parties de $u_{n+1}$. On pose

$$u_{n+1} = \int_0^1 x^{\,n+1}\,e^{1-x}\,\mathrm{d}x$$

On dérive la puissance et on primitive l'exponentielle :

$$U(x) = x^{\,n+1} \quad \Rightarrow \quad U'(x) = (n+1)\,x^{\,n}$$
$$V'(x) = e^{1-x} \quad \Rightarrow \quad V(x) = -e^{1-x}$$

Formule $\displaystyle\int_a^b UV' = \Big[UV\Big]_a^b - \int_a^b U'V$ :

$$u_{n+1} = \Big[-x^{\,n+1}\,e^{1-x}\Big]_0^1 - \int_0^1 (n+1)\,x^{\,n} \times \left(-e^{1-x}\right)\mathrm{d}x$$

$$u_{n+1} = \Big[-x^{\,n+1}\,e^{1-x}\Big]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^{\,n}\,e^{1-x}\,\mathrm{d}x$$

Terme tout intégré :

$$\Big[-x^{\,n+1}\,e^{1-x}\Big]_0^1 = -1^{\,n+1} \times e^{0} - \left(-0 \times e^{1}\right) = -1 - 0 = -1$$

L'intégrale restante est exactement $u_n$ :

$$u_{n+1} = -1 + (n+1)\,u_n$$

$$\boxed{u_{n+1} = (n+1)\,u_n - 1}$$ $\blacksquare$

b. Script Python. On part de $u_1 = e - 2$ et on applique la relation de récurrence jusqu'à $u_8$. Pour passer de $u_1$ à $u_8$, il faut 7 itérations (calculer $u_2, u_3, \ldots, u_8$).

from math import exp
def suite():
u = exp(1) - 2
for n in range(1, 8):
u = (n + 1) * u - 1
return u

Pourquoi range(1, 8) ? Cette boucle prend les valeurs $n = 1, 2, \ldots, 7$, soit 7 tours. À chaque tour, l'affectation u = (n+1)*u - 1 transforme $u_n$ en $u_{n+1}$ :
• tour $n=1$ : $u_1 \to u_2$ ;
• tour $n=7$ : $u_7 \to u_8$.

En sortie, u contient bien $u_8 = \displaystyle\int_0^1 x^8 e^{1-x}\,\mathrm{d}x \approx 0{,}1233$.

Le piège classique : range(1, 8) s'arrête à $7$, pas à $8$. Il faut $7$ itérations pour aller de l'indice $1$ à l'indice $8$.

a. Majoration de $u_n$. On part d'un encadrement de la fonction intégrée sur $[0\,;1]$.

Pour $x \in [0\,;1]$, on a $1 - x \in [0\,;1]$, donc

$$e^{1-x} \leqslant e^{1} = e$$

(l'exponentielle est croissante, et $1-x \leqslant 1$)

On multiplie par $x^{\,n} \geqslant 0$ (le sens est conservé) :

$$x^{\,n}\,e^{1-x} \leqslant e \times x^{\,n}$$

On intègre sur $[0\,;1]$ :

$$u_n = \int_0^1 x^{\,n}\,e^{1-x}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 e \times x^{\,n}\,\mathrm{d}x = e \times \left[\frac{x^{\,n+1}}{n+1}\right]_0^1$$

$$u_n \leqslant e \times \frac{1}{n+1}$$

$$\boxed{u_n \leqslant \frac{e}{n+1}}$$ $\blacksquare$

b. Limite. On dispose d'un encadrement — le théorème des gendarmes va conclure. D'après la partie B.1.b, $u_n \geqslant 0$ ; et l'on vient de montrer $u_n \leqslant \dfrac{e}{n+1}$ :

$$0 \leqslant u_n \leqslant \frac{e}{n+1}$$

Les deux bornes tendent vers $0$ :

$$\lim_{n \to +\infty} 0 = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n+1} = 0$$

D'après le théorème des gendarmes :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$$

Interprétation. L'aire sous la courbe de $x^{\,n}e^{1-x}$ sur $[0\,;1]$ tend vers $0$. C'est logique : quand $n$ grandit, $x^{\,n}$ s'écrase vers $0$ sur presque tout $[0\,;1[$ (seul le voisinage de $x = 1$ résiste), et l'aire finit par disparaître.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Forme indéterminée $\infty - \infty$. On factorise par le terme dominant. Ici $x^2$ l'emporte largement sur $\ln x$ ; on factorise donc par $x^2$ :

$$f(x) = \ln x - x^2 = x^2\left(\frac{\ln x}{x^2} - 1\right)$$

Limite de la parenthèse. Par croissance comparée, la puissance l'emporte sur le logarithme :

$$\frac{\ln x}{x^2} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0 \qquad \text{donc} \qquad \frac{\ln x}{x^2} - 1 \longrightarrow -1$$

Produit :

$$f(x) = \underbrace{x^2}_{\to\,+\infty} \times \underbrace{\left(\frac{\ln x}{x^2} - 1\right)}_{\to\,-1}$$

$$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty}$$

L'affirmation est vraie.

Sans la factorisation, on reste bloqué sur « $\infty - \infty$ ». C'est le terme en $x^2$, dominant, qui impose le signe $-\infty$.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Il suffit de calculer $-2f' + 3f$ et de vérifier qu'on retombe sur le second membre.

Dérivée de $f$. Avec $(\cos x)' = -\sin x$ et $(\sin x)' = \cos x$ :

$$f'(x) = 2 \times (-\sin x) - \cos x = -2\sin x - \cos x$$

Calcul de $-2f'$ :

$$-2f'(x) = -2\left(-2\sin x - \cos x\right) = 4\sin x + 2\cos x$$

Calcul de $3f$ :

$$3f(x) = 3\left(2\cos x - \sin x\right) = 6\cos x - 3\sin x$$

Somme :

$$-2f'(x) + 3f(x) = \left(4\sin x + 2\cos x\right) + \left(6\cos x - 3\sin x\right)$$

On regroupe les $\sin$ et les $\cos$ :

$$= \underbrace{(4 - 3)}_{=\,1}\sin x + \underbrace{(2 + 6)}_{=\,8}\cos x = \sin x + 8\cos x$$

C'est exactement le second membre de $(E)$ :

$$\boxed{-2f' + 3f = \sin x + 8\cos x}$$

$f$ est bien solution de $(E)$ : l'affirmation est vraie.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Étape 1 — $g$ est croissante. Sa dérivée :

$$g'(x) = \frac{3}{3x + 1}$$

Sur $]0\,;+\infty[$, le dénominateur est positif, donc $g'(x) > 0$ : $g$ est strictement croissante.

Étape 2 — premiers termes.

$$u_0 = 25 \qquad u_1 = g(25) = \ln(76) + 8 \approx 4{,}33 + 8 = 12{,}33$$

On constate $u_1 < u_0$.

Étape 3 — récurrence. Montrons que $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n$.

Initialisation : $u_1 \approx 12{,}33 \leqslant 25 = u_0$ ✓

Hérédité : supposons $u_{n+1} \leqslant u_n$. La fonction $g$ étant croissante, elle conserve l'ordre :

$$g(u_{n+1}) \leqslant g(u_n) \iff u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \qquad \checkmark$$

Par récurrence, $(u_n)$ est décroissante.

$$\boxed{\text{L'affirmation est VRAIE}}$$

Pour comprendre le comportement. La suite décroît de $25$ vers le point fixe de $g$, solution de $g(\ell) = \ell$, soit $\ln(3\ell + 1) + 8 = \ell$. Numériquement $\ell \approx 11{,}58$. La suite se stabilise donc autour de $11{,}58$ :

$$u_0 = 25 \to u_1 \approx 12{,}33 \to u_2 \approx 11{,}64 \to u_3 \approx 11{,}58 \to \cdots$$

Le raisonnement clé est « $g$ croissante conserve l'ordre » : une fois la première inégalité $u_1 < u_0$ établie, la récurrence la propage à tous les rangs.