Bac Maths 2025 Asie Septembre

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

C'est un produit $uv$ avec $u = x$ et $v = e^{-2x}$ :

$$u'(x) = 1 \qquad v'(x) = -2\,e^{-2x}$$

(la dérivée de $e^{kx}$ est $k\,e^{kx}$ — attention au facteur $-2$)

$$f'(x) = u'v + uv' = 1 \times e^{-2x} + x \times \left(-2\,e^{-2x}\right)$$

On factorise par $e^{-2x}$, qui n'est jamais nul :

$$f'(x) = \left(1 - 2x\right)e^{-2x}$$

$$\boxed{f'(x) = (-2x + 1)\,e^{-2x}}$$

C'est bien l'expression proposée : l'affirmation est vraie.

Erreur fréquente : écrire $v' = e^{-2x}$ en oubliant le facteur $-2$ de la dérivée de la composée.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Il suffit de calculer $f' + 2f$ et de vérifier qu'on retombe sur le second membre.

On dispose des deux morceaux :

$$f'(x) = (1 - 2x)\,e^{-2x} \qquad \text{(affirmation 1)}$$

$$2\,f(x) = 2x\,e^{-2x}$$

Somme :

$$f'(x) + 2f(x) = (1 - 2x)\,e^{-2x} + 2x\,e^{-2x}$$

On factorise par $e^{-2x}$ — et le terme en $x$ disparaît :

$$= \Big(\underbrace{1 - 2x + 2x}_{=\ 1}\Big)e^{-2x} = e^{-2x}$$

$$\boxed{f' + 2f = e^{-2x}}$$

C'est exactement le second membre de l'équation : $f$ en est bien une solution. L'affirmation est vraie.

Remarque : $f$ est une solution particulière de cette équation. Les solutions générales sont $y = (x + C)e^{-2x}$, et $f$ correspond au cas $C = 0$.

$$\boxed{\textbf{FAUSSE}}$$

Calcul de $f''$. On dérive $f'(x) = (1 - 2x)\,e^{-2x}$, à nouveau un produit :

$$u = 1 - 2x \ \Rightarrow \ u' = -2 \qquad v = e^{-2x} \ \Rightarrow \ v' = -2\,e^{-2x}$$

$$f''(x) = -2\,e^{-2x} + (1 - 2x) \times \left(-2\,e^{-2x}\right)$$

On factorise par $e^{-2x}$ :

$$f''(x) = \Big(-2 - 2(1 - 2x)\Big)e^{-2x} = \left(-2 - 2 + 4x\right)e^{-2x}$$

$$\boxed{f''(x) = \left(4x - 4\right)e^{-2x} = 4\,(x - 1)\,e^{-2x}}$$

Signe. Comme $4\,e^{-2x} > 0$ pour tout réel $x$, le signe de $f''$ est celui de $(x - 1)$ :



$$\boxed{f \text{ est CONCAVE sur } ]-\infty\,;1] \text{ et CONVEXE sur } [1\,;+\infty[}$$

L'affirmation dit exactement le contraire : elle est fausse.

L'affirmation est piégeuse parce qu'elle donne le bon intervalle mais la mauvaise convexité. Le point $x = 1$ est bien le point d'inflexion — c'est là que $f''$ s'annule en changeant de signe — mais la courbe est concave avant et convexe après, pas l'inverse.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Étude complète de $f$. D'après l'affirmation 1, le signe de $f'$ est celui de $(1 - 2x)$ (puisque $e^{-2x} > 0$) :

$$1 - 2x > 0 \iff x < \frac{1}{2}$$

Limites.

• En $-\infty$ : $x \to -\infty$ et $e^{-2x} \to +\infty$. Le produit tend vers $-\infty$ (pas d'indétermination).
• En $+\infty$ : c'est une forme $\infty \times 0$, levée par croissance comparée — l'exponentielle l'emporte :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{2x}} = 0$$



Le maximum vaut $f\left(\frac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}e^{-1} = \dfrac{1}{2e} \approx 0{,}184$.

---

On raisonne EN DEUX TEMPS, car $f$ n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$.

Sur $\left]-\infty\,;\dfrac{1}{2}\right]$ :
• $f$ est continue et strictement croissante ;
• $f$ va de $-\infty$ à $\dfrac{1}{2e} \approx 0{,}184$.

Or $-1$ appartient à cet intervalle de valeurs. D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = -1$ admet exactement une solution sur ce morceau.

Sur $\left[\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$ :
• $f$ décroît de $\dfrac{1}{2e}$ vers $0$ ;
• toutes ses valeurs sont donc dans $\left]0\,;\dfrac{1}{2e}\right]$, c'est-à-dire strictement positives.

$$f(x) > 0 \quad \text{sur ce morceau} \ \implies \ \text{aucune solution à } f(x) = -1$$

---

Conclusion.

$$\boxed{\text{L'équation } f(x) = -1 \text{ admet une UNIQUE solution } \alpha \approx -0{,}426}$$

L'affirmation est vraie.

Raccourci qui aurait suffi : $f(x) = x\,e^{-2x}$ est du signe de $x$ (car $e^{-2x} > 0$). Une solution négative comme $-1$ ne peut donc être atteinte que pour $x < 0$ — c'est-à-dire sur la branche croissante, où le TVI donne l'unicité.

$$\boxed{\textbf{VRAIE}}$$

Signe de $f$ sur $[0\,;1]$. Comme $e^{-2x} > 0$, la fonction $f(x) = x\,e^{-2x}$ est du signe de $x$. Sur $[0\,;1]$, on a $x \geqslant 0$, donc

$$f(x) \geqslant 0$$

L'aire est donc directement donnée par l'intégrale, sans valeur absolue :

$$\mathcal{A} = \int_0^{1} x\,e^{-2x}\,\mathrm{d}x$$

Intégration par parties. On dérive le polynôme (il disparaît) et on primitive l'exponentielle :

$$u(x) = x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = 1$$
$$v'(x) = e^{-2x} \quad \Rightarrow \quad v(x) = -\frac{1}{2}e^{-2x}$$

(attention au facteur $-\frac{1}{2}$ : une primitive de $e^{kx}$ est $\frac{1}{k}e^{kx}$)

$$\mathcal{A} = \left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^{1} - \int_0^{1} 1 \times \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)\mathrm{d}x$$

$$\mathcal{A} = \left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^{1} + \frac{1}{2}\int_0^{1} e^{-2x}\,\mathrm{d}x$$

Terme tout intégré :

$$\left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^{1} = -\frac{1}{2}e^{-2} - 0 = -\frac{e^{-2}}{2}$$

Intégrale restante :

$$\frac{1}{2}\int_0^{1} e^{-2x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{1} = \frac{1}{2}\left(-\frac{e^{-2}}{2} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}$$

Somme :

$$\mathcal{A} = -\frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}$$

On met les termes en $e^{-2}$ au même dénominateur : $-\dfrac{2e^{-2}}{4} - \dfrac{e^{-2}}{4} = -\dfrac{3e^{-2}}{4}$.

$$\boxed{\mathcal{A} = \frac{1}{4} - \frac{3\,e^{-2}}{4} \approx 0{,}25 - 0{,}101 \approx 0{,}148 \ \text{u.a.}}$$

C'est exactement l'expression proposée : l'affirmation est vraie.

Contrôle de vraisemblance : sur $[0\,;1]$, la fonction varie entre $0$ et son maximum $\frac{1}{2e} \approx 0{,}18$. Une aire d'environ $0{,}15$ sur un intervalle de largeur $1$ est donc parfaitement cohérente ✓

Dans le repère $\left(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$, les sommets du cube ont pour coordonnées :

$$A(0\,;0\,;0) \qquad B(1\,;0\,;0) \qquad G(1\,;1\,;1)$$

(Le point $G$ est le sommet « opposé » à $A$ : c'est l'extrémité de la grande diagonale du cube.)

Les milieux — on fait la moyenne coordonnée par coordonnée.

$$I = \text{milieu de } [AB] \ : \quad I\left(\frac{0+1}{2}\,;\frac{0+0}{2}\,;\frac{0+0}{2}\right)$$

$$\boxed{I\left(\frac{1}{2}\,;0\,;0\right)}$$

$$J = \text{milieu de } [BG] \ : \quad J\left(\frac{1+1}{2}\,;\frac{0+1}{2}\,;\frac{0+1}{2}\right)$$

$$\boxed{J\left(1\,;\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right)}$$

Récapitulatif :

$$\boxed{A(0\,;0\,;0) \quad B(1\,;0\,;0) \quad G(1\,;1\,;1) \quad I\left(\tfrac{1}{2}\,;0\,;0\right) \quad J\left(1\,;\tfrac{1}{2}\,;\tfrac{1}{2}\right)}$$

Ces trois points $A$, $B$, $G$ seront les sommets du triangle dont on cherche la droite d'Euler.

a. La droite $(AJ)$. Son vecteur directeur est

$$\vec{AJ} = J - A = \begin{pmatrix}1\\\tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

Pour éviter les fractions, on peut le multiplier par $2$ (un vecteur directeur est défini à un facteur non nul près) :

$$\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$$

La droite passe par $A(0\,;0\,;0)$. Tout point de $(AJ)$ s'écrit $A + s\,\vec{u}$ :

$$\boxed{(AJ) : \ \left\{\begin{array}{l} x = 2s \\ y = s \\ z = s \end{array}\right. \qquad s \in \mathbb{R}}$$

Contrôle : pour $s = \frac{1}{2}$, on retrouve bien $J\left(1\,;\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$ ✓

b. La droite $(IG)$. Son vecteur directeur est

$$\vec{IG} = G - I = \begin{pmatrix}1 - \tfrac{1}{2}\\1 - 0\\1 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\1\\1\end{pmatrix}$$

La droite passe par $I\left(\frac{1}{2}\,;0\,;0\right)$. Tout point s'écrit $I + t\,\vec{IG}$ :

$$\left\{\begin{array}{l} x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}t \\ y = 0 + t \\ z = 0 + t \end{array}\right.$$

$$\boxed{\text{C'est exactement la représentation proposée}}$$ $\blacksquare$

c. Intersection. On cherche $s$ et $t$ tels que les deux points coïncident :

$$\left\{\begin{array}{l} 2s = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}t \qquad (1)\\ s = t \qquad (2)\\ s = t \qquad (3) \end{array}\right.$$

Les équations $(2)$ et $(3)$ sont identiques et donnent $s = t$. On reporte dans $(1)$ :

$$2t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}t$$

$$2t - \frac{1}{2}t = \frac{1}{2} \iff \frac{3}{2}t = \frac{1}{2} \iff t = \frac{1}{3}$$

D'où $s = \dfrac{1}{3}$ également.

Le système est COMPATIBLE : les droites sont sécantes. Le point d'intersection s'obtient en reportant $s = \frac{1}{3}$ dans $(AJ)$ :

$$x = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \qquad y = \frac{1}{3} \qquad z = \frac{1}{3}$$

$$\boxed{S\left(\frac{2}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)}$$ $\blacksquare$

Ce qu'est ce point $S$ — et c'est le cœur de l'exercice. $(AJ)$ et $(IG)$ sont deux médianes du triangle $ABG$ :
• $J$ est le milieu de $[BG]$, donc $(AJ)$ est la médiane issue de $A$ ;
• $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $(IG)$ est la médiane issue de $G$.

Leur intersection est donc le centre de gravité du triangle $ABG$ !

Contrôle par la formule de l'isobarycentre :

$$\frac{A + B + G}{3} = \left(\frac{0+1+1}{3}\,;\frac{0+0+1}{3}\,;\frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right) = S \qquad \checkmark$$

a. $\vec{n}$ est normal au plan $(ABG)$. Il faut qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad \vec{AG} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

(ils ne sont pas colinéaires : $\vec{AB}$ a ses deux dernières coordonnées nulles, pas $\vec{AG}$)

$$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \times 1 + (-1) \times 0 + 1 \times 0 = 0 \qquad \checkmark$$

$$\vec{n} \cdot \vec{AG} = 0 \times 1 + (-1) \times 1 + 1 \times 1 = -1 + 1 = 0 \qquad \checkmark$$

$$\boxed{\vec{n} \text{ est normal au plan } (ABG)}$$ $\blacksquare$

b. Équation cartésienne. Un plan de vecteur normal $(a\,;b\,;c)$ a une équation $ax + by + cz + d = 0$. Avec $\vec{n}(0\,;-1\,;1)$ :

$$0 \times x - y + z + d = 0 \quad \text{soit} \quad -y + z + d = 0$$

Détermination de $d$ — le plan passe par $A(0\,;0\,;0)$ :

$$-0 + 0 + d = 0 \iff d = 0$$

$$\boxed{(ABG) : \ -y + z = 0 \quad \text{(ou } y = z)}$$

Contrôle avec $G(1\,;1\,;1)$ : $-1 + 1 = 0$ ✓

c. Intersection de $(d)$ et $(ABG)$. Un point de $(d)$ a pour coordonnées $\left(\tfrac{1}{2}\,;-t\,;1+t\right)$. Il appartient au plan si ses coordonnées vérifient $-y + z = 0$ :

$$-(-t) + (1 + t) = 0$$

$$t + 1 + t = 0 \iff 2t = -1 \iff t = -\frac{1}{2}$$

On reporte dans la représentation paramétrique :

$$x = \frac{1}{2} \qquad y = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \qquad z = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\boxed{L\left(\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right)}$$ $\blacksquare$

C'est le centre du cube ! (le milieu de la grande diagonale $[AG]$)

d. $L$ est équidistant de $A$, $B$ et $G$. On calcule les trois distances.

$$LA = \sqrt{\left(0 - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$LB = \sqrt{\left(1 - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$LG = \sqrt{\left(1 - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\boxed{LA = LB = LG = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866}$$ $\blacksquare$

Ce qu'est ce point $L$. Il est à égale distance des trois sommets du triangle $ABG$ et il appartient au plan $(ABG)$ (question c). C'est donc, par définition, le centre du cercle circonscrit au triangle $ABG$ !

Le rayon de ce cercle vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — c'est la moitié de la grande diagonale du cube.

Le triangle est rectangle en $B$ si et seulement si les vecteurs $\vec{BA}$ et $\vec{BG}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.

Les deux vecteurs partant de $B(1\,;0\,;0)$ :

$$\vec{BA} = A - B = \begin{pmatrix}0 - 1\\0 - 0\\0 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$$

$$\vec{BG} = G - B = \begin{pmatrix}1 - 1\\1 - 0\\1 - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

Produit scalaire (le repère est orthonormé) :

$$\vec{BA} \cdot \vec{BG} = (-1) \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 1 = 0$$

$$\boxed{\vec{BA} \cdot \vec{BG} = 0 \ \implies \ \text{le triangle } ABG \text{ est rectangle en } B}$$ $\blacksquare$

Interprétation géométrique — c'est immédiat sur le cube. L'arête $[BA]$ est portée par une arête du cube, tandis que $[BG]$ est une diagonale de la face $BCGF$, perpendiculaire à cette arête. Aucun calcul n'était vraiment nécessaire… mais la justification est exigée.

Ce que cela apporte pour la suite. Dans un triangle rectangle, deux des trois points remarquables sont immédiats :
• l'orthocentre est le sommet de l'angle droit, ici $B$ ;
• le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, ici le milieu de $[AG]$.

Et le milieu de $[AG]$ vaut $\left(\frac{0+1}{2}\,;\frac{0+1}{2}\,;\frac{0+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\,;\frac{1}{2}\right) = L$ — cohérent avec la question 3.d ✓

a. Les trois points remarquables. Tout le travail des questions précédentes converge ici.



Rappel : dans un triangle rectangle, les hauteurs issues des deux sommets aigus sont portées par les côtés de l'angle droit. Elles se coupent donc au sommet de l'angle droit : l'orthocentre est ce sommet.

b. Alignement des trois points. Trois points sont alignés si et seulement si deux vecteurs les joignant sont colinéaires. Prenons $L$ comme origine :

$$\vec{LS} = S - L = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{4-3}{6}\\\tfrac{2-3}{6}\\\tfrac{2-3}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\-\tfrac{1}{6}\\-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}$$

$$\vec{LB} = B - L = \begin{pmatrix}1 - \tfrac{1}{2}\\0 - \tfrac{1}{2}\\0 - \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\-\tfrac{1}{2}\\-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

Comparaison — la relation saute aux yeux :

$$\vec{LB} = 3 \times \begin{pmatrix}\tfrac{1}{6}\\-\tfrac{1}{6}\\-\tfrac{1}{6}\end{pmatrix} = 3\,\vec{LS}$$

$$\boxed{\vec{LB} = 3\,\vec{LS}}$$

Les vecteurs $\vec{LS}$ et $\vec{LB}$ sont colinéaires :

$$\boxed{\text{Les points } L, S \text{ et } B \text{ sont ALIGNÉS}}$$ $\blacksquare$

La droite $(LSB)$ est la droite d'Euler du triangle $ABG$.

---

Le résultat caché, et il est remarquable. La relation $\vec{LB} = 3\,\vec{LS}$ n'est pas un accident du cube. Elle traduit une propriété valable dans TOUT triangle :

$$\boxed{\vec{\Omega H} = 3\,\vec{\Omega G}}$$

où $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit, $G$ le centre de gravité et $H$ l'orthocentre.

Autrement dit : le centre de gravité se trouve toujours au tiers du segment joignant le centre du cercle circonscrit à l'orthocentre. C'est exactement ce que nous venons de vérifier ici — et c'est le théorème d'Euler, démontré en 1765.

Le sujet a donc fait redécouvrir, sur un cas particulier bien choisi, l'un des plus jolis résultats de la géométrie du triangle.

Les trois conditions du schéma de Bernoulli sont réunies :

• l'expérience répète $n = 10$ fois la même épreuve (répondre à une question) ;
• chaque épreuve n'a que deux issues : bonne réponse (succès) ou mauvaise ;
• les réponses étant données au hasard et indépendamment les unes des autres, la probabilité de succès est constante, égale à $p = \dfrac{1}{4}$.

$$\boxed{X \sim \mathcal{B}\left(10\,;\ \frac{1}{4}\right)}$$

Le point à ne pas négliger : c'est le fait de répondre au hasard qui garantit à la fois l'indépendance et la constance de $p$. Un candidat qui connaîtrait certaines réponses ne suivrait plus une loi binomiale.

On applique la formule de la loi binomiale :

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{5} \times \left(\frac{3}{4}\right)^{5}$$

Calcul du coefficient binomial : $\dbinom{10}{5} = 252$.

$$P(X = 5) = 252 \times \frac{1}{4^{5}} \times \frac{3^{5}}{4^{5}} = 252 \times \frac{243}{4^{10}} = \frac{61\,236}{1\,048\,576}$$

$$P(X = 5) = 0{,}058399\ldots$$

$$\boxed{P(X = 5) \approx 0{,}0584}$$

Interprétation. Dominique n'a qu'environ $5{,}8\ \%$ de chances d'obtenir exactement la moyenne ($5$ bonnes réponses sur $10$) en répondant totalement au hasard.

Cohérent avec l'espérance : il n'obtient en moyenne que $2{,}5$ bonnes réponses (question 3). Atteindre $5$ est donc le double de la moyenne — un événement rare.

Pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$, l'espérance vaut $E(X) = np$ :

$$E(X) = 10 \times \frac{1}{4}$$

$$\boxed{E(X) = 2{,}5}$$

Interprétation. Si Dominique passait ce QCM un très grand nombre de fois en répondant toujours au hasard, il obtiendrait en moyenne $2{,}5$ bonnes réponses sur $10$.

Ce chiffre est logique : avec une chance sur quatre par question, on s'attend à réussir un quart des $10$ questions, soit $2{,}5$.

Il annonce déjà la conclusion de l'exercice : $2{,}5$ bonnes réponses signifie $7{,}5$ mauvaises. Avec le barème de la question 4 (qui pénalise les erreurs), le bilan risque d'être négatif.

a. Expression de $Y$ en fonction de $X$. Si Dominique obtient $X$ bonnes réponses, il a nécessairement $10 - X$ mauvaises réponses.

$$Y = \underbrace{1 \times X}_{\text{points gagnés}} \ - \ \underbrace{0{,}5 \times (10 - X)}_{\text{points perdus}}$$

On développe :

$$Y = X - 5 + 0{,}5\,X$$

$$\boxed{Y = 1{,}5\,X - 5}$$ $\blacksquare$

Lecture de cette formule : on part d'un « malus » de $-5$ points (comme si toutes les réponses étaient fausses), et chaque bonne réponse rapporte $1{,}5$ point — le point gagné, plus le demi-point qu'on ne perd pas.

b. Probabilité d'avoir la note maximale.

$$Y = 10 \iff 1{,}5\,X - 5 = 10 \iff 1{,}5\,X = 15 \iff X = 10$$

La note $10$ correspond donc au sans-faute — les $10$ réponses justes :

$$P(Y = 10) = P(X = 10) = \binom{10}{10} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{10} \times \left(\frac{3}{4}\right)^{0}$$

$$\boxed{P(Y = 10) = \left(\frac{1}{4}\right)^{10} = \frac{1}{1\,048\,576}}$$

Interprétation : environ une chance sur un million. En répondant au hasard, Dominique ne fera pratiquement jamais un sans-faute.

c. Seuil de positivité.

$$Y \geqslant 0 \iff 1{,}5\,X - 5 \geqslant 0 \iff 1{,}5\,X \geqslant 5 \iff X \geqslant \frac{5}{1{,}5} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33$$

Comme $X$ est un nombre ENTIER de bonnes réponses :

$$\boxed{X \geqslant 4 \ : \ \text{il faut au moins 4 bonnes réponses}}$$

Vérification aux deux bornes :
• avec $3$ bonnes réponses : $Y = 1{,}5 \times 3 - 5 = 4{,}5 - 5 = \mathbf{-0{,}5}$ ✗ (négatif)
• avec $4$ bonnes réponses : $Y = 1{,}5 \times 4 - 5 = 6 - 5 = \mathbf{1}$ ✓ (positif)

Le piège : écrire $X \geqslant 3{,}33$ et conclure « $3$ bonnes réponses ». Il faut arrondir à l'entier supérieur — un nombre de bonnes réponses ne peut pas être $3{,}33$.

À noter : le seuil de $4$ est au-dessus de l'espérance $2{,}5$. C'est le cœur du problème suivant.

a. Probabilité d'une note négative ou nulle. D'après la question précédente :

$$Y \leqslant 0 \iff X \leqslant \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \iff X \leqslant 3 \quad \text{(car } X \text{ est entier)}$$

$$P(Y \leqslant 0) = P(X \leqslant 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}$$

À la calculatrice (binomFRép / binomcdf) :

$$P(X \leqslant 3) = 0{,}77587\ldots$$

$$\boxed{P(Y \leqslant 0) \approx 0{,}78}$$

Interprétation — et c'est frappant. En répondant totalement au hasard, Dominique a près de $78\ \%$ de chances d'obtenir une note négative ou nulle. Autrement dit, dans plus de 3 cas sur 4, deviner lui coûte des points.

b. Espérance de $Y$. L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$. C'est ce qui rend le calcul immédiat, sans avoir à recenser toutes les valeurs de $Y$.

$$E(Y) = E\left(1{,}5\,X - 5\right) = 1{,}5 \times E(X) - 5$$

Avec $E(X) = 2{,}5$ (question 3) :

$$E(Y) = 1{,}5 \times 2{,}5 - 5 = 3{,}75 - 5$$

$$\boxed{E(Y) = -1{,}25}$$

---

La conclusion de l'exercice, et elle est instructive.

$$\boxed{E(Y) = -1{,}25 < 0}$$

En moyenne, répondre au hasard fait PERDRE $1{,}25$ point. Le barème est conçu exactement pour cela : il rend la stratégie du hasard défavorable.

Vérifions pourquoi. Sur une question isolée, l'espérance de gain vaut

$$\frac{1}{4} \times (+1) + \frac{3}{4} \times (-0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}375 = -0{,}125 \ \text{point}$$

Chaque réponse au hasard coûte donc en moyenne $0{,}125$ point — et sur $10$ questions, cela fait bien $10 \times (-0{,}125) = -1{,}25$ ✓

Le seuil qui change tout : la pénalité de $0{,}5$ point rend le hasard perdant. Si elle n'était que de $0{,}3$, l'espérance vaudrait $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \times 0{,}3 = 0{,}025 > 0$, et il deviendrait rationnel de deviner. Le concepteur du barème a donc calibré la pénalité avec soin.

Traduction de l'énoncé en probabilités conditionnelles :

$$P_{A_n}\left(A_{n+1}\right) = 0{,}3 \quad \text{donc} \quad P_{A_n}\left(\overline{A_{n+1}}\right) = 0{,}7$$

$$P_{\overline{A_n}}\left(A_{n+1}\right) = 0{,}7 \quad \text{donc} \quad P_{\overline{A_n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right) = 0{,}3$$

Attention à ne pas confondre : les valeurs $0{,}3$ et $0{,}7$ apparaissent des deux côtés de l'arbre, mais croisées. Un chemin sur deux les inverse.

Formule des probabilités totales. Les évènements $A_n$ et $\overline{A_n}$ forment une partition :

$$p_{n+1} = P\left(A_{n+1}\right) = \underbrace{p_n \times 0{,}3}_{\text{via } A_n} + \underbrace{(1 - p_n) \times 0{,}7}_{\text{via } \overline{A_n}}$$

Calcul de $p_2$, avec $p_1 = 1$ (donc $1 - p_1 = 0$) :

$$p_2 = 1 \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}7 = 0{,}3$$

Calcul de $p_3$, avec $p_2 = 0{,}3$ (donc $1 - p_2 = 0{,}7$) :

$$p_3 = 0{,}3 \times 0{,}3 + 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}09 + 0{,}49$$

$$\boxed{p_3 = 0{,}58}$$ $\blacksquare$

À noter : la suite oscille — elle chute brutalement de $1$ à $0{,}3$, puis remonte à $0{,}58$. La partie B expliquera cette oscillation.