Produit scalaire dans l'espace

$$I = \left(\dfrac{1+3}{2} ; \dfrac{-1+3}{2} ; \dfrac{2+0}{2}\right) = (2 ; 1 ; 1)$$ $$\overrightarrow{AB} = (2 ; 4 ; -2)$$ $$\boxed{I(2;1;1), \quad \overrightarrow{AB}(2;4;-2)}$$

Le plan médiateur passe par $I(2;1;1)$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}(2;4;-2)$. $$2(x-2) + 4(y-1) - 2(z-1) = 0$$ $$2x - 4 + 4y - 4 - 2z + 2 = 0$$ $$2x + 4y - 2z - 6 = 0$$ En simplifiant par 2 : $$\boxed{x + 2y - z - 3 = 0}$$

$$5 + 2(1) - 4 - 3 = 5 + 2 - 4 - 3 = 0$$ $$\boxed{C \in \Pi}$$ Cela signifie que $CA = CB$, c'est-à-dire que $C$ est équidistant de $A$ et $B$.

$$\overrightarrow{CA} = (1-5 ; -1-1 ; 2-4) = (-4;-2;-2)$$ $$CA = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ $$\overrightarrow{CB} = (3-5 ; 3-1 ; 0-4) = (-2;2;-4)$$ $$CB = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ $$\boxed{CA = CB = 2\sqrt{6}}$$ Le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-4)(-2) + (-2)(2) + (-2)(-4) = 8 - 4 + 8 = 12$$ $$\cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{12}{2\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$$ $$\boxed{\widehat{ACB} = \dfrac{\pi}{3} \text{ (soit } 60°\text{)}}$$

**Plan médiateur de $[BC]$ :** Milieu $J = \left(\dfrac{3+5}{2} ; \dfrac{3+1}{2} ; \dfrac{0+4}{2}\right) = (4;2;2)$. $\overrightarrow{BC} = (2;-2;4)$, vecteur normal simplifié $(1;-1;2)$. $$1(x-4) - 1(y-2) + 2(z-2) = 0 \implies x - y + 2z - 6 = 0$$ $\Pi'$ : $x - y + 2z - 6 = 0$. Le centre $\Omega$ du cercle circonscrit vérifie $\Omega A = \Omega B = \Omega C$ et appartient au plan $(ABC)$. Déterminons d'abord le plan $(ABC)$ : $\overrightarrow{AB} = (2;4;-2)$, $\overrightarrow{AC} = (4;2;2)$. On cherche $\vec{n}(a;b;c)$ : $2a+4b-2c=0$ et $4a+2b+2c=0$. De la première : $a+2b-c=0$. De la seconde : $2a+b+c=0$. En additionnant : $3a+3b=0$, soit $b=-a$. Alors $c = a+2(-a)=-a$. $\vec{n}(1;-1;-1)$. Plan par $A(1;-1;2)$ : $(x-1)-(y+1)-(z-2)=0$, soit $x-y-z=0$. On résout le système : $$\begin{cases} x+2y-z=3 \quad (\Pi) \\ x-y+2z=6 \quad (\Pi') \\ x-y-z=0 \quad ((ABC)) \end{cases}$$ $(\Pi')-(ABC)$ : $3z = 6$, soit $z = 2$. De $(ABC)$ : $x - y = 2$, donc $x = y+2$. Dans $(\Pi)$ : $(y+2)+2y-2=3$, soit $3y=3$, $y=1$, $x=3$. $$\boxed{\Omega(3;1;2)}$$ **Vérification :** $\Omega A = \sqrt{4+4+0} = \sqrt{8}$, $\Omega B = \sqrt{0+4+4} = \sqrt{8}$, $\Omega C = \sqrt{4+0+4} = \sqrt{8}$ ✓